まずその電柱が、幹線道路などから住宅に電線を引き込むための電柱なのか、道路上に電線を通すための通過点の電線なのかで内容は変わると思います。前者の場合、普通は電気の使用者負担で柱を立てます。なのでその場合はそれを隣の人が使うのはおかしいでしょう。ただ今回は東電が立てさせてくださいといったニュアンスみたいですね。こういう場合、多くは後者のパターンです。この場合、よほどの理由がない限り東電から電柱の移動はしないと思います。隣地の方が駐車場や玄関の入り口にある電柱がじゃまだから東電に移設の申請をした可能性もあります。この場合はあくまで、電柱を立てるための敷地を貸しているということで、そこから隣地に引き込みさせないという権限はないかと思いますが、東電の社内上でそういった了承を得るような規定があるんじゃないでしょうか。

稀な例ですが、前者の形で複数の住戸で一本の引き込み柱を共有する場合もあります。こういう場合にはその柱をどこに立てるかがシビアで、下手に移動できない場合が多いんですよね。

ド素人、一般人です。法律のことはわかりませんが。
ちょっと気になったので・・・。それに○電ではないですが、我が家は鳥害（糞害）がきっかけで、参考までに電柱の移設について何度か電力会社に質問したことがあります。

＞施行主はとぼけて電柱が建っていたことも知りませんと言っていますが、何年も土地の状況を確認しに来ている・・・
実家の元畑だった場所に、みんなが使う電信柱がありました。
現場監督Ａさんが仰る「道路上に電線を通すための通過点の電線の為の電信柱」になると思います。（畑だけで建物はありませんから。）
で、電力会社から、うろ覚えですが、年（たぶん月ではなくて年）に、50円か百円程度の年貢をもらってると、親から話を聞いたことがあります。
私有地を貸してるからなのでしょうね。
だから、その施行主さんという人の世帯では、お隣の土地がどなたの名義になっているのでしたら、○電さんから年貢をいただいてるのではないでしょうか？
施行主さん自身は知らなくても、施行主さんの親御さんとかが知ってると思いますが。

我が家の場合、「もし、この電柱を移設してくれと希望したらどうなりますか？」の質問をした際、「（今はわかりやすいように、電線の距離や道路の形状や高低差などもろもろの状況を加味せず、高低差もなく直進の道路で、絵にかいたような一般的なケースを条件として、あくまで一例で）移設先の承諾を得た上でないとできませんし、もし了承していただいた場合は、移設費用はお宅（私どものこと）が払うことになります。」と答えました。
この移設先というのが、私有地ならば承諾を得るのは当然のことでしょうが、市道であっても民家敷地の接点になるような場所の場合も同様だというニュアンスでしたよ。

よく分譲の新築などで見かける一般家庭私有地内の細い電柱は、そのお宅１軒の為のもので、費用はどこが支払ってるんでしょうかね？
「隣の土地から電信柱を我が私道に移動したい」この文言だけでしたら、電気会社はわかってるでしょうが、一般人にはどのような線で、我が家だけの分なのかどうかわかりませんよね。説明不足なのでは？

＞移動した電柱を使わせないことは違法？
お気持ちはお察しします。
我が家の場合、敷地内ではないものの電柱があるがために、同じ電線下でも、２軒先、３軒先のお宅は鳥害にあってませんし、犬の糞の忘れ物の処理だって、ごみのポイ捨ての的にされるからその掃除とか、ずっと私が永年当番でさせられてます。今はゴミを出す場所は各家の前ですが、そのうち数軒分まとめろ！になったら、電柱の根本が置き場所候補として真っ先に狙われるでしょうね。
隣接道路は公共道路ですが、日本人の慣習で自宅前の道路は住人が掃除しろと、所有者の役所は掃除にきてくれません。住ませていただいてるんですから、少しは掃除させていただきますが、それにしても、角地なので固定資産税は割高で、掃除も道路２本分で２倍の肉体労働負担。コスト計算したら損です。周辺の奥さん達は全面道路の掃除をしない人ばかりで、その５分１０分をバイトに行って金銭もらえますが、私のは奉仕という日本語だそうです。電気料金か固定資産税を割引してほしいくらいです。
メリットは？というと、車がぶつかりそうになっても、この柱が盾になってくれることくらいでしょうか。
そんなで、鳥害で相談した初期の時に電力会社にＨＥＬＰ！と言ったら、「だったら電気使うな！」と言われたことがあります。
弁護士にその話をしたら、電力は公共性のあるものになるから、使わせないことは違法だと言われました。
（長くなりましたが、）ということで、「移動した電柱を使わせない」というより、他の言い回し例えば「聞いてた話と違う」とか、「その電柱は我が家限定での供給用だと信じていた」とかはどうでしょうか？
けど、あなたは電力会社ではないので、「使わないでほしい」と（冷静に。暴言だだけですが）希望を伝えることは法的に問題ないと思います。で、使わせないで済むかどうかは、最終的には法定で判断してもらうか？ではないでしょうか？
県庁、市役所にも無料法律相談がありますから一度利用されてみては？（複数の弁護士さんに）