爺ちゃん様。
大変お困りのご様子ですね。
地下室ということで，通風を図るのはとても難しいかもしれません。
一つの方法ですが，屋外デッキ用に開発された，プラスチック木材というのがありますので，それで床を張ると腐る心配は無いでしょう。
プラスチック木材で検索すると，各種の商品がヒットします。
DIY用もありますので，それで補修されると良いかと思います。
普通の木材同様，ノコギリで切れますし，釘も効きます。

　構造、使用形態などわかりませんので、何とも歯がゆいのですが、
福地様の言われるように、通気が無ければ、何をしてもなんの意味もなしません。
通気を確保することを第一にすべきと考えます。
使用用途によっては、床を「すのこ」にするとか、せめて　床にスリットをもうけるとか・・・・ですね。
　状況、条件が許すならば、塩ビ管、ビニールホースの太めのモノなどを利用して、強制換気の工夫をすることも可能かと思います。
　一台のパイプファンから、パイピングして床下を這わせて室外へでも排出する。
床下を這わすパイプには、適度に穴を開けておけば、床下からの排気ができるでしょう。（注意・・・密閉にならないように、どこか吸気口も考えてくださいね？）
その上で　ｏｓｅｋｋａｉ　様の推薦されている製品を使うと、さらに良いと思います。

　

通風の話が出てますので，一言追加させて下さい。
湿気対策として通風を良くするというのは，一般論で正解なのですが，場合によっては例外もあります。
北海道の様に夏場，乾燥している地域だと良いのですが，大阪の様に高温多湿地域では，地下やベタ基礎などが冷えていると，そこに通風を良くする時に，かえって大量の結露を生むことも知っておかなければなりません。
通風によって，躯体が暖められれば良いのですが，地下水位が高く，おまけにコンクリートが断熱されていない場合，コンクリートが冷えたままですと，この現象が発生します。
結露対策としては，まずはコンクリートの断熱が基本となりますが，後付けでできる方法としては，発泡ウレタンのスプレー缶がホームセンターに置いてありますので，これで内側から適当に断熱しておくと良いでしょう。
これは，ある程度の防水，防湿効果も期待できます。
次に，大阪の場合は，通風よりは，地下室の気密性を利用して，湿度管理を徹底する方が勝っています。
除湿器を使う手もありますが，水が溜まってすぐに停まってしまいますので，再熱除湿のエアコンを取り付けるとうまく行くでしょう。
ということで，優先順位としては，断熱→湿度管理→腐らない部材ということです。

下地からの湿気対策ということですが、古い戸建ということで通常であればコンクリートが合板を痛めるまでに湿潤していることはなさそうです。湿気の原因が他にあるのではないでしょうか。地下水の流入等。もしこれがあるのであれば内側からの防水は難しいでしょうからその水の排出方法を考えるべきだと思います。換気もその一つですが、ビットを設けてポンプ排水等です。ドライエリアがあったらよかったのかもしれません。

外からの水の流入がなければ地下といえども、一度乾燥させれば湿度は下がると思うんですが、冬場の乾燥時期に暖房と除湿を行えばかなり乾燥が進みます。程度によりますが、1ヶ月、2ヶ月の単位でです。この際、12mmの角材はあまり透湿しないと思うので一度剥がしたいですね。乾いたらコンクリートの不陸調整をして直接クッションフロアでも良いかもしれません。