お話を整理しましょう。まず一般的には大引は構造部材とは考えないので、地震に対して対策を考える場合、個別に対応しないといけません。必ずしもこの大引の施工は手抜きではないのかと思います。

畳のために床を下げればこうなるので、大引の顎をとって土台に引っ掛け釘打ち程度が一般的かと思います。大引の端には鋼製束を入れるのも一般的だと思います。これは下がらないためだと思います。

コースレッドで留めたり、金物？でつけたりというのは地震などで変形した際に土台と大引が離れないように結合させたいというお考えでしょうか？一般的にはここの結合力を特別高める施工はしないですが、HD金物や柱脚中t桜花なものをここに代用して結合力を高めることは可能だと思います。ただソンンアに大きな力がこの部分にかかるかどうかは確認しないといけません。梁受け金物のように下で受けて下がらないようにしたいのかもしれませんが、それなら鋼製束で十分なように思います。

色々他にもあるかもしれませんが、一つ一つ安心ができるように確認をしていきましょう。今回の件は鋼製束をしっかり設置してもらえたのなら、特別おかしなことをしているようには文面からは感じられませんでした。ご自分で何かを行う場合はしっかりと正しい知識をつけてから行うことをお勧めします。

最初に、恐らく　気に障る・・・言い回しになるかもしれません。

基本的に現場監督Aさまと同じ立場、同じ意見です。

最後に言われている、

>ご自分で何かを行う場合はしっかりと正しい知識をつけてから行うことをお勧めします。

に、恐らくお気持ちのすべてを込めていらっしゃるのだと、推測します。

お客様は、
よく、何かあったときの逃げ口上に、「私たちは、素人なんだから、その時に言ってくれれば・・・」とか言うのですが、
そのようなことの無いように、最低限の知識は持っていただきたい。と、思うことがあります。
しかしながら、われわれはプロです。それに対して、あまりにも！と言うお客様もいるのが、正直なところです。
我々の説明を、聞きかじりの（薄っぺらな）知識で、否定されることもあります。
また、「イメージが違う」とか、「思っていたことと違う」の一言での否定も、「仏の顔も・・・・・」ですよね？それを「無料」の手直し扱いに、できることと、できないことがあります。ましてや高飛車な言いかたとかだと、勘弁してほしいですよね？

　今回の件が、それに当てはまる・・・か、どうかはわかりません。
そうでないことを祈りますが、そうであれば、最後の「訴訟、裁判」は勝ち目以前の問題でしょうけれども。

誤解があるといけないので補足させていただくと、ぼくはとうちゃんさんの不安や疑念を否定するつもりはありません。我々がお客様に説明をしてもなかなか理解をしてもらえないとき、説明の仕方が悪いと思います。今回のご担当者さんはお客さんに安心をしていただくスキルが少し足りなかったのではないでしょうか。
私も似たような会社に在籍していたことがありますが、係争、裁判対策は万全だと思います。そういう方向でお金を取ろうとすると痛い目に合いそうな気がします。他にもお悩みのことがあるのかもしれませんが、疑念からの勘違いであるかもしれません。その辺をひとつひとつはっきりさせていくことが大切だと思います。感情的になると良いことはないと思います。
ちなみに長期優良住宅というのは政府が推し進めようとする200年住宅から出てきた制度ですが、長期、大地震に対しても問題ないよという意味よりも、長期間何かが起こっても比較的安易に点検したり修繕できる建物だよ。という住宅でもちろん構造的な基準もありますが、完成後もその建物の管理、履歴を保全していくことまでを含んでいます。建設会社とのやりとりを良好に保つことが一番、建物の長期保全には有効だと思います。