正直な話は、ケースバイケース、人それぞれ。と、言い切ると取り付く島もない。のですが。私なら、こんな感じ？で　お話を。

>?横木の厚さ、縦の長さ、横の長さはどのくらい必要か

既製品で売っている化粧材ならば、２１＊９０＊２０００（４０００）　などのものがあります。
メーカーにより多少の差がありますが、それくらいで良いと思います。
製材された木材を使用するのなら、８分※３寸５分※１２尺（２４＊１０５＊３６４０）くらいでしょうか。

>?横木を間柱に止める時のネジの長さ

充電ドライバーとかを使用するのならば、５０?６５くらいのもの。手で締めるつもりなら、下穴を開けてからでなくては、大変でしょう。

>?家具を横木に止める時のネジの長さ

Ｌ型金物の大きさによって、使用するべきビスの径が決まるでしょう。
径は金物に空いている穴の大きさにより決まることです。あまり長いものは必要ありませんし。
ベースになる木材が２１なり２４ですのでその前後の長さになるでしょう。打ち込む数にもよります。

なお、この件では、正解は無いと思います。
どれだけしっかりと、やったつもりでも、「想定外」の事態は起こりえます。　
一部を強くしたが故に他の部分が弱くなる場合もあります。

　補足（蛇足？）です。

　板の厚さ、ビスの長さ・・・よりも、間柱等の下地にしっかりと効かせてくださいね。
家具を置く場所によっては、必ずしも既製の寸法では合わないかもしれません。
できれば、家具の端々からさらに壁下地までの長さを加算した寸法を用意したいですね。

>細かいことですが、家具を横木に留める時には、横木にさえとまっていれば良いのでしょうか？それとも、横木を突き抜けて石膏ボードにとまった状態にしたほうが良いのでしょうか？

解答を先に言ってしまうと、石膏ボードには、ビスは効きません。
ですから、木材に効かせることを考えれば良いのであって、
石膏ボードに届かなくとも、それに届いて穴が空いていても、実際上は変わりません。
この場合は、長さより、数の方が問題視されますね。

ちなみにですが、長くても問題はありませんが、建築金物（ビス）には、全ねじのものと、それ以外があります。木材部分にねじの部分が効いていなければ、これも意味がありません。ご配慮を。