ぼくら建築の分野ではやっぱり「追い焚き機能」というと、ご想像する循環式の湯船の中のお湯をわき直す機能を思い浮かべます。その大きな違いっていうのは、足し湯、差し湯ですと単純にお風呂には水道からつながる給水管と給湯設備からつながる給湯管が来ているだけですが、追い焚き機能がある（給湯設備です）とお風呂には加えて共闘設備凸上がる追い焚き菅を施工します。だから「追い焚きがある」＝循環式と認識します。

ただ、建築業界とは微妙に畑違いの不動産業界ではそういった施工面に明るい方ばかりとは限らず、単純な「機能」としてあるかないかだけを考えた場合、ただの足し湯を追い焚きと表記するには無理がありますが、「高温差し湯」に関しては追い焚き機能としている業者もいるようです。このようなトラブルは多いみたいですね。賃貸契約をした後で循環式の追い焚き機能を加える工事っていうのは事実上難しいです。よほどのことがない限り、一度お風呂は組み替える必要もありますし、給湯器の追い焚き（循環式）機能のついたものに交換します。数十万円の工事費用になると思います。

対応としては使い方がご予定していた方法とは変わりますが、できる限り頭や体を洗い流す際は湯船のお湯を使うようにして湯量を減らし、冷めたら高温足し湯をするという使い方しかないと思います。
どうしても不便だということであれば、敷金礼金や仲介手数料を返してもらい契約をキャンセルする交渉は自由だと思いますが、それが通るかどうかはやり方次第になりそうです。少し調べて見たのですが、不動産表記についてのルールではっきりと追い焚き機能の定義はされていないかもしれません。

サーモバス、保温浴槽といいますがけっこう効果あると思います。ぼくも小さい子がいますが、1、２度変わると全然変わるのでお風呂に入れるときは何度か追い焚きします。保温浴槽だとその冷めるスピードが遅くなります。ただし、全く冷めないわけではないですし、冷え切った体で浴槽に入った際には変わらず温度は下がってしまいます。

構造上追い焚きにできないではなく、やりにくいんだと思うんですが。まずお風呂をシステムバスだと思いますが、ほぼ分解する必要があります。そして浴槽から給湯器の位置までペアチューブを施工し、給湯器を追い焚き機能付きに変えます。浴槽と給湯器の距離が離れているとそれだけ工事が増えます。壊すか、配管カバーを使って露出配管にするか。浴槽を取り替えるのもほぼ分解か全交換なのでついでにできそうな気がします。
すいません。賃貸ではなく購入とありましたね。16年ですとそろそろ給湯器の交換をしても良い時期だと思います。通常は壊れてから交換するのが多いですが、給湯器と浴室のリフォームをご検討なら相談してみては。

表記が虚偽かどうかはこちらでは不動産関連の方は少ないようですよ。おそらくはっきりとしたルールがないので、追い焚きとは循環式だという人と、循環式と高温差し湯式があるって人と両方いるのかなって思います。給湯器のメーカーの紹介を見ると、「追い焚き感覚が得られる。追い焚きはできません。」と書いてありました。