文章を読んだ率直な感想は「Aて悪いやつだな」です。でも、「法的解決策が可能か否か？」という問いに対してあまりにも話が抽象的なので、返答のしようがないと思う。

１）について
手抜き工事やミス、確認不足、知識不足が具体的にどんなことなのかがわからないと答えようがない。Aによって起きた不備をなんとかしたいのか、そのようにしたAをギャフンと言わせたいのか、どちらか一方に絞るのが良いと思う。
何か金銭的な解決をしたいのなら前に他の誰かがいっていたが、クーリングオフの適用ができるかどうか。ただそこにはあなたが証明しなくてはならない事項もたくさん出てくる。その辺の不注意はなかったかどうか。

２）について
ここに窃盗罪について回答できる人はいないと思う。要は表現の仕方だと思う。逆に業者側の用意した材料を取り付けたが金銭を支払わない場合、窃盗罪になるのか？と問われたらどう思うか。話がややこしくなりよりトラブルが大きくなるだけである。

３）について
基本的に見積があって、それの依頼をしたのでは？見積を確認しておいて工事をした後に高いっていうのはどうかと思う・・・。工事の出来についてはそれとは別の話じゃないだろうか。職人の人工で話が進むのであれば、設計やコーディネーター、運送屋さんや監督など職人以外の人はいらないということになる。そうするとどうなるか。職人は手ぶらで作業に来て工事が終わったらゴミも置いて帰ります。地域にもよるが、大工一人4日間施工で材料費別１０万円前後は安すすぎると思う。でもそれをわかって依頼をし、お金を支払うところまでしたのだから、当人にも何も落ち度がなさそうには感じられない。

４）について
このサイトで何度も言われていることだが、慰謝料を請求することは自由である。ただし、それが簡単に支払われるとは限らない。例えば、その原因となる不具合を全て直してもらった上で精神的な慰謝料を請求することは一般的ではない。全てを妥協して解決金をもらうくらいだったら現実味がある。それから咳や体の不具合が本当に何が原因でそうなっているのかの証明は必要だが、証明することは不可能だと思う。あとは先方の善意に期待するしかできないと思う。

５）について
契約書を作らずに工事に入ることは一方的にAの落ち度なのだろうか。契約の内容を書面で確認をせず、工事の依頼を口頭でしてその支払いをしている時点である一定の内容の契約が成立しているように感じたが。なぜ契約書を作ってくださいと言えなかったのかという落ち度もあるのでは。
印紙税法違反は悪いことだが、そこを訴えてもあなたが得することはないと思う。

全般的にAは悪いと思うし、知識のない力のない技術者かもしれない。しかし、そこを信頼して工事を依頼したのはあなただ。そこを噛み締めつつ円満に解決をしていこうとしない限り、先方は硬化して逃げ回るだけのような気がする。気が収まらないのは重々承知だが、後から粗探しをするような交渉の仕方は何も得はせず話をややこしくするだけだと思う。工事の問題なのだから、工事に不備のある部分を直す方向に話し合っていく必要があると思う。一度問題を箇条書きに洗い出し、工事に関することを優先に交渉したらどうか。窃盗罪や印紙税法違反などは二の次でいいんじゃないかと思う。

>約10坪　無垢床重ね貼り詳細
>約5畳×2部屋
>約7畳×1部屋
>廊下にあたる小さなフロア（長方形）×1箇所
>が施工場所です。3部屋（全てクローゼット無しの四角部屋）＋廊下となります。

悪いがこの５行の情報から工事見積なんてしないよ。相場なんて状況によって変わるし。正直なとこ大工によっても変わる。早い大工、遅い大工、丁寧だけど遅い大工、早くてうまい大工、遅くて下手でやり直しが必要な大工、、、など。
工事原価とあなた様が支払う金額も普通は違う。なので値幅を大きく表すと、大工の手間が一般的に１日２〜３万円、床板を支給したとしたってその床板を張るために接着剤や釘が必要だ。工事をする際に養生もするだろうし、現場で出たゴミを処分する費用もかかるかもしれない。重ね貼りをする際に壁際の巾木などの資材が他に必要かもしれないし、すでについている巾木にくっつけていく場合には、クセを取りながら貼っていくので壁が多いほど日数がかかる１０坪の四角い部屋と同じ１０坪でも３部屋４部屋ある場合、そこにさらにドアや掃き出し窓などの形が複雑なものがあると日数が全く変わってくる。

済んだ話の値踏み交渉をするよりも、現在不都合の出てる部分を直す交渉をした方がお互いのためになると思うのだが。一度提示された見積を依頼して工事後にケチをつけるのはトラブルしか呼ばないと思う。今更大工４人分の見積だったけど３日しかきてないじゃないかっていう交渉が通るのならば、見積工事後に「やっぱここ手間くって１０日余分にかかったから追加ください」っていうのもアリとなってしまう。不毛だよ。