「2階トイレ排水後、下の一階の天井がミシミシと鳴るようになって」ということですが、もしミシミシ鳴る箇所にトイレの排水管が近く配管されている状態だとすれば、トイレ交換の際に配管を固定する金具のネジが少し緩んでしまい、排水をする際に配管が震えているのかもしれません。もしくはその木材の痩せ等。これは天井を開いて見ないとわかりませんのでそこまでする必要があるかどうかの判断が必要です。

写真の天井に黒ずみが見えますが水漏れ等していないのでしょうか？

それと、昨今の節水型トイレは少しの紙でも流す際は「大」で流すことをお勧めします。「小」でも流れるということですが、一見流れたように見えてもトイレ便器内に紙が止まっていることがあります。その状態で次々と「小」で流し続けると詰まります。もしかするとそうして溜まった紙が配管内に残っているのかもしれませんね。そういう場合、高圧洗浄をした方が良い場合もありますが、多くの場合は一般的な住宅の規模で定期的に高圧洗浄をする必要はないと思います。

ひまわり２さん

※1,どこから音が鳴るかですか？
床？、器具？
たぶん、新しい便器に接続するときに、専用の排水口を古い排水管に取り付けています。
以前より大きくなります。床板との部分で、荷重（歩行？便器に座ると？）がかかると床材と排水器具、排水管がこすれているかも。

最近のT社は、排水管（塩ビ）自体はのりづけで固定、便器部は、はめ込み型器具を床に取付て、黒いゴム付ではめ込み式となっています。

A：音にもよりますが、床材等のこすれと思われます。工業者にご相談ください。

１―２、トイレ用排水口洗浄剤も定期的に行ってた方が良かったのか。
A：必要はないと思います。
排水管洗浄は油を使うキッチン排水が主です。
マンションで油の油分を含んだ排水で管が細くなり排水障害を起こすからです。
排水量の少ない戸建てでは、使用回数、汚水排水などから必要はないと思います。

１―３（3階ベランダに蛇口ありですが未使用です。エコキュート使用）
A：問題の関係はないと思います。長期に水が流れないと一般的には「死に水」（昔）いいました。使用の際にしばらく排水すれば・・・

追加１、写真の天井に黒ずみが見えますが・・・・・（回答済みですね）
電球の熱で黒くなってきているみたいですね。天井クロスのクリーニングと発熱が少ない同等のLED電球に交換をお勧めします。