調理器具等にカビがはえる。システムキッチンを構成している部材にはカビが付いていないというふうに読みました。そのうえで回答させていただきます。
ほぼ無風、日照が乏しい、ある程度湿度が高い、寒冷過ぎず暑すぎない、カビの栄養になる素材がある。そのような条件が揃うとカビが集落を形成し始めます。目に見えるカビがはえるという状況になるということです。
例えば下駄箱にいれた革靴にカビがはえて下駄箱本体にカビはないという現象を多くの方は経験されているでしょう。この場合は、タンパク質で構成されている皮がカビに多くの栄養を与え、その他の条件の揃っていたと考えることができます。
調理器具では木製の部分にカビが付くことが多いでしょう。鍋の取っ手、木製のご飯ベラ、塗りが剥げてしまった箸、少し古くなった木地のお椀などがそれにあたります。
プラスチック製品もカビますが木製品ほどではありません。プラスチック製品、金属製品にカビが付く場合は、調理に使用した後の洗浄不足が原因になっていることがあります。
シンク下の収納部分とその外側の環境との温度差に原因があると思われる場合は、その両方に同じ型の温度計を置いて計測してみることよいでしょう。ある程度の精度でその差を見ることができます。確かめてみることは大切です。
スライド式というのは引き出し式ということでしょうか。そうであれば少し引き出した状態にしておくことで温度差を少なくする工夫になります。
扉式のベースキャビネットであれば少し扉をあけておくことでも同じ効果があると思われます。
まず、カビのついた調理器具をきれいに洗浄して、よく乾燥させて、収納内に風通しが確保できる工夫をされてみるとよいでしょう。