黒ずみの方は恐らく、ドア枠とその下地の間に設けたクリアランスが原因で断熱欠損から結露が起きているのかなと思いました。関東のほうではこれを施工ミスと言われると憤慨する施工業者もいそうですし、例えばサッシをつける際にもこういったクリア部分にも断熱を吹く会社と吹かない会社、様々だと思いますが、後者の方が多いと思います。秋田だとどうなんでしょ？という状況ですね。

外壁のほうは２枚目は塗膜ではなく外壁自体あるいは剥がれていたところに用いたパテ類が剥がれているようにみえます。３枚目の写真は塗膜剥離ですね。何れにしても塗装時のシーラー不足が原因か、年数によっては基材自体が無石綿材料のためにすでに傷んでいたのかも知れません。築１５〜２０年前後であればその可能性があります。もっと新しいとまだ事例が少ないのでわかりません。塗装工事の保証をどこまでしてくれるかだと思います。いずれにしても施工したところに問い合わせてみてください。

　一部の写真ですので、断定はできませんが、
ドア枠の横？は、典型的な「結露」と考えます。
周辺、枠周りの施工の詳細がわからなければ、原因も断定はできません。
　あくまで、もしかして・・・ですが、
ドアを閉め切って、そのドアを境に暖房室、非暖房室を分けていませんか？
その、非暖房の方に結露したのではないでしょうか？
　あるいは、一日の間での室温差が大きめではありませんか？
たとえば、夜寝るときはストーブを切る。朝は寒い部屋でストーブのスイッチを入れる。とか、これに、部屋の閉めきりが重なると、「てきめん」と思います。

　家そのものの断熱気密性能に左右されることですので、強制はしませんが、そういう使用法がおすすめです。

　外壁ですが、二枚目の写真で、
屋根の周辺ですよね？
　まず、屋根板金と外壁材との間が「コーキングのみ」のようです。また、その他にも原因があると思われますが、「外壁材の裏に浸水」している可能性を考えます。
外壁材は、表面は耐候性を高めていますが、裏は大変もろく、弱いのです。それが、ポップアップ等の損傷を与えたと想像します。

　ここには、小さな「谷」を作って、コーキング切れによる浸水や、外壁材表面の水滴や、氷の付着を防ぐことをされた方が良いとお思います。
　外壁裏に「通気層」があるのであれば（無いかもしれない、通常はあります）ここは、小さな谷と併せて、コーキングではなく、水切りを付けて、通気を促す必要が有る事例だと思います。詳細な施工は、業者と詳しく相談をする必要が有るでしょうね。ただ、気を付けないと、なおさら、外壁裏に水を導いてしまいますので、十分な検討が必要です。

　使用法の部分が飛んでしまいました。

　家を一つの箱と想定し、その中での温度差をさけるため、室内のドア、開口部は、開放してください。「採暖」ではなく、「暖房」してください。
一日の間での温度差をなるべく少なくしましょう。ストーブなどは、いりきりすると、それで温度差ができます。
換気で室内の湿気を少なくすることも必要です。

　こんな感じです。

　すべてが推測に過ぎない前提で・・・・
　

>　実は外壁の剥がれは建物2階部分で、そのちょうど真下1階に玄関ドアがあり、その内側のドアの木枠が問題の個所になります。

　一枚目の写真を見直すと、「水分」が結露にすると多めに感じました。
問題の二階壁、屋根の取り合いで、水が外壁裏に入っている。それが、枠のところで悪さをしている気がします。
　屋根の軒先と、外壁のぶつかる周辺・・・そこのコーキングが切れているようにも見えるのですが？実際はどうなんでしょう？
　写真で見る限りは、遅かれ早かれコーキング切れなど、問題が出る気がします。
　それと、一階外壁と、二階外壁との間の「帯」の部分はどういう納め方をしているのか？興味のあるところです。
ここを、しっかりとしなければ、「通気層」の意味は無くなります。
別の考えをすると、ここで縁が切れていれば、二階外壁で入った水は、不幸中の幸い？下まで（玄関枠まで）行くはずが無かった。わけですが・・・・
　その時はそのように対応した納めになっていれば良いわけです。

　いずれにしても、壁の中の「納め」がわからなければ、「いかんともしがたい」。ということが多い気がします。