こんなことが、よくあっては困ります。
この程度の事は、プロなら対応しておいてほしいことです。

多分、水道工事業者が決まり、水道屋さんは後からクレームが来ないように、配管口径のサイズアップを申し出たものと思います。

奥の住居まで何?あるのか不明ですが、当初の設計者は13mmで大丈夫と考えたものと思います。

近くの水道局に行って、ホユコさん宅の地域の給水圧を確認して下さい。
一般的に、水道局の給水圧は2Kg／cm2です。20mの高さまで水が上がるということです。
但し、ガス給湯器の運転や、大便器のフラッシュバルブの作動に必要な圧力があります（0.7Kg／cm2）ので、それらの器具の所で、水圧確保の必要があります。
２階ならば十分対応可能です。

水道局の方と相談してください。
水圧の高い地域でしたら、サイズアップの必要はないでしょう。
水圧の低い（時期により水の出が悪くなる等）の地域ならば、サイズアップはやむを得ないことかと思います。
但し、20万円は高すぎます。距離が不明ですが、配管材料費のコストアップは僅かですし、工賃も工賃のアップも小さいです。
給水管引込工事の殆ｎどは、根切工事（配管のために地面を掘る工事）と埋戻し工事です、配管口径には関係ありません。
その他メーターの口径アップとなりますので、この分の費用は掛かりますが、増額分は少額です。

工事費が高いのは、水道の引込管径のアップも考えているかもしれません、その場合は公道で本管から取り出しを行うことになりますから工事費が上がります。
（20万になるかどうかは不明です）

サイズアップの理由が不明ですが、水圧や、前面道路からの引込距離に問題があるとしても、設計時に配慮しておくべきことです。

本当に20mmでなければ機能障害が生じるなら設計ミスです。

道路からの引込関係は13mmのままとし、メーターを20mmとして以降の配管口径を20mmとすれば、費用負担は僅かで済みます。

水道局に相談の上、サイズアップが必要ならば上記のような対応で十分であると思います。