工事内容的にこのような方法で何かを「直す」ということはあり得ません。棟包という板金なのですがこれは屋根の上に打たれた木などの下地に横から釘を打って留めつけるのが一般的です。中の木が朽ちて棟包が浮いてしまう場合があるのでその際は板金ごと全交換(下地の貫板も)もしますし、そうじゃなく木が朽ちていなければ横から釘を打って直します。脳天から釘を打つなんて素人だと思います。

> 屋根の一部が浮いているので固定した方が良いと行きずりの業者に指摘され

この業者さんが正義なのか悪なのかわかりませんが、よく「近くで工事してたんだけど〜」という感じで声をかけてきて「板金が浮いてるので直した方が良い」と言ってくる人は結構います。そう言われたお客さんから相談を受けよく見に行きますが何も問題のないことがほとんど。ただ本当に板金が飛んでしまっているケースもあるので見に行かないわけにもいかず、正直ちょっと迷惑な人たちです。。

> 自分でインターネットで検索した業者に来てもらうと屋根全部が浮いていると言われ棟板からの全交換をすすめられる

この業者さんも本当にその必要があるのかどうかでいうと正義か悪かは不明ですが、直し方は間違ってないので本物の屋根屋さんなんでしょうね。

> 2年後に外壁塗装を考えているため今回は屋根の一部だけ

この業者さんが実際に写真の施工をしたんでしょうが、屋根屋さんではないですね。足場なしでやったにしても釘とコーキングだけでちょっと費用も高いです。悪意なくただ無知だったのかもしれないですがちょっと失敗でしたね。

これが適切かどうかでいえば適切ではないです。コーキングしなくていいように板金を使っているのに脳天から釘を打ってコーキングをしてしまってはコーキングが朽ちた際に水の入り口になってしまいます。すぐにはならないでしょうが、ただ一番を陽が当たる屋根にこんな薄いコーキングでは10年も持たないと思います。外壁塗装で足場をかけるのであれば、棟包の交換をしておいた方が良いでしょう。13万円は諦めるしかなさそうですが、クーリングオフを使うか、消費者センターなどに相談してみては？

横からすみません。
なぜ 脳天から 釘やビスは駄目なのでしょうか？
(もちろんこの場合は一般に貫の横に止めるのが普通です。)

波板や棟やけらばの瓦は
ビスや釘で止めます。
まして コーキング等を施すとの事。
もちろん万全ではありません。
万全の前に点検が必須です。

何が正解かは私にはわかりませんが
何らかの要因でプロがこのように施工されたのかも
しれないので理由が知りたいです。

ご自身で業者を探されたの事
どんな業種の方に、たどり着いたのでしょうか？

※塗装屋に聞いてもコメントは信頼ありません。