写真で見ての感じだけで・・・・

>写真1枚目の床板の下の木材ですが
>左上→玄関付近ですが 一部えぐれて細くなっています。
>ギザギザにえぐれており、 素人にも一目で気づく感じです。

これは、使用されている木材が、小径のため製材前の表皮に近い部分が出ている。
「皮付き」と思われます。
最近は、大径材が入手しづらいため、製材時にこのような物も、製品化されるのでしょう。
これ自体が木材の強度に影響することではありません。
美観上の問題と、小さな問題があるかも？くらいでしょう。

> 右上→リビングの所は、ノコギリ？の切り込み跡があります。
>ここには、壁や設備は来ませんので、 不自然だなと思うんですが…。

この写真だけで、この理由、原因を推測はできません。
大工さんに、聞いてみることだと思います。
「言い訳」じみた言い方をするか？きちんと自信を持って、理由を説明するか？
どちらかでしょう。正当な？理由が無ければ、遠慮無く、補強なり、交換を要望することだと思います。
説明に不安であれば、第三者のアドバイスを聞くことも、必要かもしれません。
建築士会などに問い合わせをされたらいかがでしょう？

> 右下→リビングの所で ヒビが端まで入っています。
> 左下→基礎にヒビが入っています。
> 写真2枚目は基礎てすが、 上はヒビが貫通しています。
> 下はアップにしてありますが、ヒビが材木の半分くらいの長さで入っています。
>ヒビ入りの基礎は一ヶ所だけでなく、 何箇所もあります。

「皮付き」のところでも触れましたが、最近は、大径の木材が入手しづらいため、
製材も木材の中心を外した、「芯ざり材」は少なくなっています。
「芯もち材」という、年輪の中心を含んだ材料が多くなる訳です。
これらは、見るからに「芯持ち」ですよね？

芯持ち材の場合、木材の固有の性質・欠点として、ほぼ確実に、このように割れることになります。
使用部位により、最初から「背割り」と言って切り込みを入れておく場合もあるくらいです。
強度的に大きな問題があると言うことではありませんが、使用部位により、そのような材料は避けるべき場合もあることは確かです。

　推測ですが、
大工さんが材料を、仕入れる際に「芯持ち材」が多かったのでしょう。

「強度的に問題の大きな部位」、「美観上問題のある部位」などに、この手の木材を使用しないことを要望、確認しておくことが、安心の元かもしれません。
不安要素が大きい？あるいは、よくわからない？
などの場合、お近くの建築士会などに相談して見ることも、一考かもしれませんね。

一つ、忘れていました。
「基礎」ではなく、この場合は、「土台」ですね。
他の方々に相談する上で、誤解を招くかもしれません。

１枚目の写真、「床板の下の木材」ということなので、根太か大引のお写真なのだと思いますが、左上の写真ののこ目は一瞬大工さんがミスをしたり、根太の上でのこ仕事をして切れ目が入ってしまったように見えます。が、それにしては明確に直角・平行にのこ目が入っていますし、木材と垂直にのこ目が入るのはわかりますが、長手方向ののこ目はやろうとしないとこんなにうまくはいらないような気がします。この後、この部分をノミで欠き取ってここにさらに多いれで材を掛けようとしているのではないでしょうか。もしくはそうしようとしたがその必要はなく途中でやめてそのまま使っているのか。
右上の「ギザギザにえぐれて」いるのは製材後にこのようになることはまずないので、保管時や運送時に何か台木のような使われ方をした際に破損したか、現場にて何か搬入をしたり建前の際にロープをかけたりした際にこのようになってしまったのか。
そのほかのヒビのお写真は全て木材の長手方向に入っていますね。木材が乾燥する際にこういった縦割れは起こりえますので、心配はないと言えばないですが、割れるということはその分縮んだりねじれているということですから、その上に床板を貼る際にもその不陸に気をつけないといけませんし、色々と厄介は出てきます。そうならないために通常は乾燥材といってあらかじめ乾燥させた木材を使うのですが、乾燥材ではないか、乾燥材でも保存の悪かったものが一部混ざっているのかもしれません。通常は乾燥材と言いましたがそれを使ってないから悪いというわけではなくて、乾燥材は強制的に乾燥させる際に気の良い成分を飛ばしてしまうので、使用しないこともあります。どこまでどういう材料を使うかは考え方次第です。

上記はあくまで写真からの「想像」であって真相は本人に聞いてみないとわかりません。特に深刻な問題ではないように個人的には感じますが、そういった心配や不安を取りのぞいていけるように説明を受けられたら良いと思います。