現場からの視点での意見となりますが、、、

通常の戸建住宅で鋼管杭での地盤改良。これはおそらく一般的な工法ですと、高層ビルのような支持杭ではなくてほぼ摩擦杭のようなものと考えて良いかと思います。あくまで杭で地盤沈下を抑えるというだけではなくて、その名称の通り地盤を改良する。その杭によって地盤を締め固めてみつ実にする、加えて摩擦で沈下も押さえる。といった交換を期待していると思います。この辺は各社の工法によって若干違いがありますので確認を取ってください。

「基礎下に空洞ができているが大丈夫か」
多少は大丈夫と思います。しかしそのまま少しづつ土が流れて減っていっている状態で、土がなくなっていってしまったら最後には地盤がなくなってしまうのですからまずいことになります。これを判断できるのは施工業者だけです。見てもらいましょう。
基本的には空洞部分に山砂等を充填していく作業をした方が良いのかなと思います。水の流れなどでどんどん流れていっているのか、それが部分的なのか全体なのか、締め固めの不足で部分的に下がってしまっているのかの判断が必要かと思います。

>杭は通常基礎の真下にあると考えていいのでしょうか それとも割栗石とコンクリの下なのでしょうか

これは会社の考えや設計者、改良屋さんの考えによって千差万別です。鋼管の場合は基礎下にするのが多いと思います。

２度目のご質問は基本的に設計者や改良業者にしか正確な回答はできないと思います。どう設計しているかですから。元請け業者を通してよく確認をしてみましょう。ちなみに捨てコンクリートというのは、配筋工事や型枠工事の際に墨付けなど作業をスムーズに行うために捨てるコンクリートです。土の上には墨は出せないのでコンクリートを打つんですね。無筋ですし厚みもありません。割れて当然だと思います。ベタ基礎なので重さはありますが船のように考えれば相当下の土が広範囲でなくならない限り傾くことはないと思いますが。