もしかしたら・・・ですが、

落ちていた「黄色い粉」は、天井の断熱材、グラスウール(ブローイングウール）では無いでしょうか？
そうであれば、心配されている雨漏りのシミ　は、この件では、直接の関わりは無いと思います。

写真の天井は、気密施工がしっかりしていなければ、目地部分の端部は、何かしらの塞ぐことはされていないと思われます。グラスウールが出てくる隙間はあり得ます。
同じように、気密の施工をされていないと言うことは、そこの部分での「空気の流通」があるわけで、黒くなることも うなづけます。

修理ですが、この部分に市販の「隙間テープ」（スポンジに両面テープがついている物）を、詰めることが手っ取り早いのでは無いでしょうか？
空気の流通は防ぎませんが、グラスウールの落下は防ぐことはできると思われます。