>施工会社と設計会社と異なる2社と新築工事の委託契約を締結。

順番として施工会社は、設計者の「下」とは言いませんが、図面、指示のもとということになります。もちろん、「これじゃあ、おかしいんで無いの？」は言えますし、言うことは必要でしょう。
ここで、二者がいると言うことで、どちらかの意向が強い、中庸をとる、妥協する・・・いろいろとあるでしょう。

今回の場合は、どうだったのか？わかりませんが、もしかしてです
「造作玄関ドア」・・・設計者のこだわり、思い入れのある部分では無いでしょうか？
施工側でどこまで「リスク」を理解し、提案をバックしたか？わかりませんが、
設計者の意向を尊重した、設計者が押し切った、その辺の想像ができると思うのですが？

であれば、

>クレーム前提でお願いしていたため

クレームをつけるべきは「設計者」であって、「施工者」では無いと思います。
それで

>当初設計書通りに施工を行っており、施工会社の責任はありませんとの回答がありました。

と言うのは、うなずけます。きっと、私もそう言います。

設計者の意図、意向では無く、施主の希望による「造作玄関ドア」だったとすれば（仮定の話です）どこも責められません。

文面で言う限りは、設計者に持って行くべき事案と考えます。
その過程で、どの程度の現場の責任がフィードバックしてくるかは、詳細が不明な段階ではコメントできません。

>今回の不具合の際に施工が悪く今回の不具合に結びついたと私は感じています。

その辺のジャッジは、デリケートなところですね。
正直言って、お客様の見解でそれをジャッジはしない方が良かったと思います。
この件の場合は、ご自分の見解は置いておいて、設計・施工の両者に下駄を預けるべきであったと思います。
おそらく、実際はともかく、双方、あなたがかかわることで話にねじれが生じているかもしれません。
施工が悪い・・・と言われた（施主から）方は、当然、「設計が悪い」になります。
設計者は、これ幸いに、施工者を責める錦の御旗に思うでしょうね。
逆もまた当てはまるでしょうね。

クレームの対策の範疇で・・・を望まれるのであれば、
双方に全く下駄を預け、「いずれにしても、私は、一年目でおかしくなるような家をお願いした覚えはありません。」「双方でお話し合いの上、双方で解決してください。金銭負担の考えはありません。」「金銭負担の納得のいく説明を受ければ、それについては、考えます」この程度のスタンスで、ご自分はかかわらないことが、良いのでは無いでしょうか？

>施工会社と設計会社と異なる2社と新築工事の委託契約を締結。

正確にいうと、施工会社とは「建築請負契約書」、設計会社とは「設計監理業務等委託契約書」を取り交わしているのだと思います。その書類はありますか？その前提でお話しますが、この内容としてはまずななかまどさんは設計者と設計の契約をしているので、建てたい建物の設計を色々打ち合わせた中でしてもらっていると思います。その結果できたものが設計図書です。
次にその建物を建てるために施工者と請負契約をしました。その見積の精査なども設計者の仕事です。次に監理というのは設計図書通りに施工がされているかどうかを確認していく業務です。なので、工事着手した後も設計者の仕事は終わりません。工事が終わり最後に工事監理報告書と竣工図を作るところまでが設計者の仕事になります。

具体的に工事中どんなやりとりがあるのかというと、特に造作でオーダーメイドのものは設計図書だけだと具体的にどのように作れば良いかがツーツーにわかることは少ないので、施工者は設計者にどう作るの？こうでいいですか？といったようなやりとりをします。ぼくは現場監督ですのでこの施工者の立場になるんですが、監理委託契約が入っている場合、設計管理者に聞くことが多いです。本来この方とは直接契約関係がないのですが。この辺のやりとり次第なのかと思います。ぼくだったらはじめにこのようなやりとりの議事録を誰が施主様に伝えるのかをまず確認します。その都度施工者が報告するか、最後に監理者から工事監理報告書として報告するか。なので、

>詳細の図面を戴いていないため、

というのは監理者がそのような確認を怠ったというのが大きいのかなと思います。要は設計というよりはデザインをしただけで詳細は施工者に任せたというような。施工者の方も事前のやりとりにて常識的な範疇でこの通り作ったらこうなっちゃうよ！っていう指摘をした上でその通り作れと言われたらそうするしかありません。その指摘をしたかどうかも確認したいところです。

>施工が悪く今回の不具合に結びついたと私は感じています。

これが本当だとしたら、やっぱり設計監理者に相談をして具体的にどう施工不備なのかを指摘すべきです。

というところが本来の責任関係なのだとぼくは思うのですが、その後の支払いの問題は事後請求になっており、ちょっといただけないやり方ですね。玄関ドアが開かなくなってしまったのであれば、緊急性はあったのでしょうが、ただだよっていって請求を後から出すのはびっくりしてしまいますよね。それは支払う必要はなさそうなんですが、額によっては今後の関係性にもピピいてしまいますので、なんとか穏便に結論づけたい部分ですね。

まずは工事監理報告書や竣工図を確認して、責任の所在をはっきりさせたいですよね。設計不備なのか施工不備なのか、技術的に施工可能なのかも含めて。