詳細が不明なことがたたあり、推測に過ぎないことを、お断りの上・・・

>吐き出し窓の隙間風があり調整してもらいましたが改善がされません。また、巾木からの冷気もあります。

もしかしたら、床と壁との間の「気密施工」がしっかりしてない可能性があります。
隙間もそうですが、気密層(ビニールシート、気密テープなど）の施工がしっかりとしていないかもしれません。
さしあたりは、巾木と床との間をコーキングする。あるいはテープで塞ぐことで改善されれば、本格的にコーキングを業者に依頼するとか。
それらが、問題無かったとしても、掃き出し窓は、条件的にきついものです。
窓表面で冷やされた空気は、ダウンドラフトとして、窓表面を流れ下り、
そのまま床を冷気として走り抜けます。
サッシ、ガラスなどの断熱性能だけでは防ぎきれない、掃き出し窓の弱点といえます。

>床下を自分で点検したところ断熱材に指が通るくらいの隙間が多数あります。また、給湯器が通してあるところがクラックもあり外がみえる状態でした。

言いにくいことですが、住宅の断熱性能そのものがあまり高くない可能性があると思われます。
さしあたり、大きめの隙間には現場発泡ウレタンをホームセンターなどで購入して、詰めることをおすすめいたします。
小さめのもの(ウレタンのノズルが入らない）は気密テープを張ることで、対処できるかと思います。
ご自分での作業が無理であれば、業者に相談されて確認、施工されると良いのではないでしょうか。

>床下の状態をみると断熱材がきちんと隙間なく壁内も施工されているのか心配になります。

これは、実際に確認するほかありませんが、地域的には一般的にあまりシビアなことを要求されていないのかもしれません。
ご自分で確認出来なければ、お近くの建築士会、ホームインスペクターなどにお相談されることをおすすめします。