参考になれば・・・

まず、押し入れ物入れ等は、床から天井まで(室内部）風が吹き抜ける。事を考えます。
具体的には、床は、すのこ(木造でも市販のプラ製でも）を敷いて、その上にものを乗せる。壁、特に外壁側は、すのこを縦に並べて風を吹き抜けさせる。
中棚がある場合は、中棚の奥部分を加工して隙間を作る方が良いです。最悪は、すのこの並ぶ場所は、穴だらけにします。
天井、荷物の上面は、詰め込まないで隙間を大きめに空けます。
ふすまは、開けっぱなし、あるいは、引き違いなどの場合は、真ん中に建具を集め、両端を開け放ちます。
これで、扇風機などがあれば、そこに向けて風を送りつずけます。
　このとき、床、外壁側の壁、上階がない場合の天井などは、板状の断熱材を、まず張ってから、すのこを施工すると、部屋は目に見えて狭くはなりますが、効果抜群と考えます。
　つまり、これにより換気と断熱の施工をする事になります。
これは以前、北側の押し入れの結露に悩んだ道民がいろいろやった末に考えた、当時、はやった？施工です。

>クローゼットの棚板に穴は難しそうなので、なるべくものを少なく余裕を持っておいてみようと思います。

枕棚(頭の上くらいの高さの小さな棚）であれば、問題はありません。
中棚(腰くらいの高さの大きな棚）であれば、その棚も出来ればすのこを敷くのがおすすめです。被害の程度によりますが？

>質問なのですが、板状の断熱材というのは、自力でホームセンターで購入し、貼れるものでしょうか？その上にすのこをたてかけておくとよいということですか？？

自己所有であれば、断熱材は、両面テープなどで貼り付けることは可能でしょう。
間違っても接着剤はやめた方が良いです。(溶けてしまいます。使える接着剤もありますが）すのこは、立てかけて荷物で押さえる事で良いと思います。
固定は、長めのビスで、壁下地に向かって打つことになります。
すのこの足部分の裏に両面テープでも、無理しなければ、倒れはしないと思います。
ちなみに、両面テープは事務用のものでは無く、ホームセンターなどでは「カーペット用」とかのもの(ガムテープを両面テープにしたように見える）が良いと思います。

>北海道の北側の押し入れはこんな感じなのですね。

こういう事態を乗り越えて、今がある。
新しい住宅でこれになる「北海道の住宅」はありません。おそらく・・・・
古い住宅で、今もってこれに近いことをやっている所は残っているかもしれませんが？

福地様への質問だったのですが、

>今は昼間は窓を全開に換気していますが、昨年ハウスメーカーさんに来てもらった時窓を開けるのはよくないと言われたのですが、
> 窓を日中窓を開けて換気をするのは効果的ではないのでしょうか。(寒くて風邪をひきそうです)

家の暖房がされていて、家自体が暖まっているのであれば、部屋を換気して一時的に冷えても、すぐに回復します。
現在、コロナがはやってる為にされている換気は、窓を開け放つことですよね？
無駄とか、良くない事では無いと思いますよ。
あくまでも、家自体の保有？している熱があるのであれば、一時的な温度の低下は、家が回復させるということです。
逆の発想では、おいしくビールの飲むために？ジョッキを冷やしておきますよね？
さらに、冬期間は、外気が湿度的に低い(乾燥している）ため、乾燥した外気を取り込むことは、結露対策として有効です。(あくまでも家自体を冷やさないようにしてください）
風邪を引かないための「暖房」と「換気」と、考えられます。
もし、実情に合わない部分があれば、お詫びします。

カビ対策はなかなか難しい問題で困ったものですね。
一つの方法ですが,鉄筋コンクリートのお宅ということですから,気密性はかなり期待できると思います。
それで逆転の発想で,できるだけ屋内の湿度を低く保つという方法が考えられます。
その為に除湿器を使用されたと思いますが,除湿器の除湿能力には限界があります。
それで,お勧めしたいのは,熱リサイクル方式(再加熱方式)のエアコンで除湿するという方法です。
窓は全て閉め切った状態にして気密は保った状態で運用します。
そうすれば,外からの湿気はかなりの程度遮断できるでしょう。
屋内で発生する湿気と換気システムから入ってくる湿気は熱リサイクル方式のエアコンで対処できるでしょう。
残念なのは,今入手できる熱リサイクル方式のエアコンは数が少なくなってしまっていることですが,日立の製品の中にはこの方式のエアコンがありますので,電気屋さんにお尋ねになってみて下さい。
このエアコンはもちろん,暖房にも冷房にも使えますし,普通の除湿器の7台分程度の除湿能力があります。
特に梅雨時期には,部屋の温度を下げずに除湿する能力がありますので,洗濯物が面白いように屋内で乾きます。
そのためのランドリーモードを持つエアコンもあります。
壁の結露対策としては,諸先生方が述べておられる通りですが,DIYで断熱改修を行うのであれば,大きなホームセンターには発泡ウレタンのスプレー缶が市販されていますので,これを使うと割と簡単に断熱施工ができます。
コンクリートの躯体を見える状態にして,スプレーを吹き付けると泡状のウレタンが固まって高性能の断熱材として機能します。
ただし見てくれは良くありませんので,その上から石膏ボードや化粧板などを貼る必要があります。
頑張ればDIYでもできますので挑戦してみられるといいですね。
カビは健康上もとても有害ですので,頑張ってみて下さい。

ｊpken　様のフォローに感謝です。

エアコンでの除湿の考えは、ありませんでした。そう言われればそうですね。
この場合、カビが生えないほどの環境は、人間生活が不可能な乾燥の場合があります。ほどほどに？ほかの対策との兼ねあわせになると思います。
梅雨の事はあまりわかりませんが、室内よりも外の湿気が高い場合などは、相当、有利に働くと思います。

壁に吹き付ける？ウレタンフォームですが、
おそらくです。ホームセンターなどで入手可能な製品では、無理かもしれません。
吹き付ける、さきからどんどんと垂れ下がるでしょう。
下がらないだけずつ、少しずつ・・・では、時間がかかりすぎると思います。
板状の断熱材（市販名 スタイロフォームなど）の方が、おすすめです。この断熱材の細かい部分の「切り欠き」「穴」などを受ける程度の部分に「ウレタンフォーム」を使用する方が実際的だと思います。

それと、「こりん」様への基本的な事の確認ですが、
住宅の中に「暖房室」と「非暖房室」と両方を作っていませんよね？
たとえばです。ＬＤＫは、暖房室、皆さん団らんされてます。
その間、寝室、個室(子供部屋など）は、暖房されている。
客間があるが、普段は「未使用」なので、「非暖房室」。
この場合は、客間、つまり非暖房室には、100％結露します。
　家を「箱」と考えます。断熱材で箱にするわけです。
その箱の中は、温度差を作りません。ですから、非暖房室を作りません。
このとき、閉めきってすべての部屋を暖房したのでは、非効率ですよね？
箱の中をすべて開け放って、「一つの空間」にします。
開けたドアは閉める。ではなく、「閉めたドアは開ける」事が常識になります。
もちろん「トイレ」も「浴室」も、すべて開放が理想です。
一応、確認です。

DIYでされるということで,以下のページが参考になるかもしれません。
https://diy-magazine.jp/archives/4152
見える部分は最終的に石膏ボードと壁紙で仕上げることになると思いますので,石膏ボードを取り付けるための間柱(下地材)を壁に取り付ける必要があります。
コンクリートにネジ留めが普通ですが手間がかかるので,コンクリートボンドで間柱をコンクリート壁に貼り付ければ簡単でしょう。
間柱のピッチは石膏ボードの幅を考えて取り付けて下さい。
恐らく尺モジュールですと45.5センチメートル,メーターモジュールの場合は50センチメートルの間隔になるでしょう。
それから,間柱の間の壁面は発泡ウレタンスプレー缶で断熱します。
間柱よりも分厚くならないように,何かでならしながら施工してください。
ウレタンボードを壁に貼り付けるのは良い方法ですが,満遍なく接着しないで隙間があると,そこがカビの温床となりますので注意が必要です。
それで,発泡ウレタンを薄く塗布してそれを接着剤としてウレタンボードを貼るのも良いかもしれません。
この場合,間柱よりも分厚くならないように注意が必要です。
接着がうまくいけば,間柱も要らないかもしれませんが,ウレタンボードの表面の厚みを均一にするのは結構難しいように思います。
押し入れやクローゼットなど,人目に触れないところは,発泡ウレタンむき出しでも大きな問題とはならないでしょう。

除湿については,普通のエアコンで行うのは使い方に工夫が必要となります。
夏の熱い時期,壁が焼けているような時は,普通に冷房でエアコンを付けているとどんどん除湿してくれます。
この時期は愛知県ですと,外気の絶対湿度は膨大ですから,決して風通しを図ってはいけません。
コンクリート造の気密性を利用すべきです。
外気の湿度が低い時期は風通しだけでいけるのですが,本州はそのような時期は少ないと思います。
冬は,エアコンで暖房すれば,屋内の相対湿度はかなり下がりますので,湿気の問題は少ないはずです。
この時期は普通の開放型の石油ストーブやガスストーブは屋内に水撒きしてるようなものですがら,決して使ってはいけません。
問題となるのは,梅雨時でして,この時期はエアコンは除湿の面では機能しません。
冷房にすると寒くなるし,暖房にすると暑くなるからです。
普通のエアコンにも除湿モードもありますが,あれは厳密には弱冷房でして,やってみると分かりますが,部屋の温度が徐々に下がるだけで,相対湿度は逆に上がってしまい酷い場合は100％近くまで上がります。
それでこの場合の,裏技ですが,エアコンを同時に二台以上付けて,一台は冷房,もう一台は暖房で使うという方法があります。
冷房で絶対湿度を下げて,温度が下がる分は暖房で再び暖めて相対湿度を下げるるという方法です。
実は再熱除湿エアコンはこれを1台でこなしているわけです。
一旦冷やして,再び暖めるというのは実に馬鹿げているように思われますが,物理的に除湿するためにはこの方法がベストです。
問題はこのようにすると熱い部屋と寒い部屋ができてしまいますので,もしも可能であれは,二つの部屋の仕切りは開放にして,扇風機か何かで空気を拡散できるようにするとうまくいきます。
恐らく納得しにくいと思いますが,物理的にはこういうことでして,これは実験してみると分かります。
あと,冬は加湿したくなるかもしれませんが,加湿器を使うのはやめておく方が無難です。
どうしても乾燥が気になる場合は,洗濯物を干すなどして,自然加湿が望ましいです。
あるいはミスティガーデン(商品名を書いもいいのか?)などの自然な加湿グッズが安心できます。
20年以上温暖多湿地で除湿の実験を繰り返したノウハウは以上の通りです。
本当は,コンクリート造は外断熱工法による改修工事がベストなのですが,DIYではかなり難しいし(私の義弟はやってのけました),業者に頼むとかなりの費用が掛かりますので,次善の策をお伝えしました。
色々と大変だと思いますが,頑張って下さい。

ｊｐｋｅｎ 様　いつもながら、適切なアドバイスですね。
私たちは、どうしても住んでいる、北海道に合わせた話になります。
確かに、本州以南にはそこの実情に合わせた対策が必要です。
私も目からうろこの話もあり、感謝します。

取締役様の誠実な回答にはいつも頭が下がります。
北海道の諸先生方は私にとっては大先輩,大教師です。
今後もよろしくお願い致します。