梅雨時に室内を乾燥させるには,熱リサイクル方式のエアコンがベストです。
再熱除湿方式とも言います。
昔は各社から出てましたが,省エネの面では不利になるので,今はかなり数が少なくなってしまいました。
熱リサイクル方式のエアコンであれば,希望の湿度をリモコンで設定しておけば,大体その湿度を保つことができます。
ランドリーモードにすると,梅雨時に屋内で洗濯物を乾かすのに重宝します。
拙宅も和室の客間は普段は物干し部屋としてこのタイプのエアコンがとても役立っています。
ちなみに,本格的な高気密住宅であれば,熱リサイクル方式のエアコンで効果的に除湿できますが,気密性が悪いと,ある程度湿度管理はできますが,エアコンは常時運転を要求され,省エネの面で不利になります。
穴の空いた船を想像すると分かりますが,外から入ってくる水を常時ポンプでくみ出しているようなものでキリが無いというわけです。
この点でも気密性は重要ですが,気密性がどの程度であるかは気密測定をしない限り分かりません。
気密性はC値で表しますが,少なくとも1cm2/m2以下,できれば0.5cm2/m2程度ですと理想的です。
測定がされていない場合はC値は1を超えていることが多く,酷い場合は5前後というケースもあります。
残念ですが,日本での高気密住宅の実態はこんな感じです。

節電のための高気密と考えるのはあまりお勧めではありません。エアコンと合わせて快適さを追求するのが高気密高断熱と考えては如何でしょうか。
少なくとも、窓を開けては高気密高断熱や２４時間換気が台無しというものだと思います（例外的に高度な設計のエコハウスもありますが）。

高気密高断熱であれば、エアコン稼働のコスパは非常に良くなります。

断熱性が足りないと感じておられたら断熱材を追加するのは検討の一つですね。

湿度のコントロールはエアコンでするのが良いと思います。
こちらのサイトなど参考になるでしょうか。
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO19460320R30C17A7000000/

エアコンは畳数で選んで過剰な能力の品物を設置すると、エアコンで部屋が冷えるのが早すぎて、湿度が充分に下げられないという事が起こるそうです。
高気密高断熱であれば、上記サイトでも紹介されている以下のようなサイトで計算して、低めの能力のエアコンで湿度を下げるのが快適と思います。
https://criepi.denken.or.jp/asst/

他には、室内で湿度の発生源になっているものがないか、給気口を塞いだり、２４時間換気がうまく働かないような原因がないかと調べるのも必要かもしれません。

ｊｐｋｅｎ　様、ｅｍｕ　様も言われていますが、
ｂｕｓｕｋａ様は、高気密の考え方に少し錯誤がある気がします。

高気密　ゆえに、「換気」が最重要になります。
高気密は、密閉した空間にするゆえに、換気が無いわけにはいきません。
昔、＊雪ハウスの営業マンが言ったセリフ、
「高気密・高断熱は、窒息してしまうでしょう？で、うちの建物は中気密高断熱なんです。」　これは、「中途半端」と言います。し、高断熱の意味が失われます。
窒息しないために、「中気密」でなく、「換気」をすべきなのです。

>窓を閉めていると暑くて耐えられません。

当然です。人が中にいないのであれば、湿度も温度も変わらないでしょう。
人が生活する限り、換気しなければ、湿度も温度も上がることはあっても下がる要素はありませんよね？
エアコン等が無ければ、窓を開ける以上の換気はあり得ません。
当然、外気と内気の湿気の差は出来ません。

>節電のために高気密なはずなのに、除湿器を使っては意味がないようにも思いますが、

節電のためは、間違ってはいませんよ？考え方の方向性が違いませんか？
高気密で除湿機を使うことは、(換気は置いといて）
限定された空間のみを除湿する。わけです。
ここで、気密が悪いと、次から次と外気が、高湿度の状態で流入する。事により、地球自体を除湿する？
エコに反する事になるのではありませんか？

次に、換気は不可欠です。それに関しても、最低限に計画された量の空気の入れ換えで良いわけですから、それもエコになるわけで無いでしょうか？

エアコンによる除湿、換気は、理にかなっているし、それを行うべきと考えます。