>隣家が換気扇を使用すると吸気口から少なからず臭いが入ってきます。

和室側隣家がたばこやニンニク等使用するため、和室の吸気口のみ閉めたいと思っています。

　厳密に言えば、そこを含んでの換気計算だと考えられ、おすすめはできません。
　あくまで私感ですが、この部屋の換気口を閉めても、部屋を開放していれば、つまりドア、引戸等の開口部を開放して、部屋としての換気を他の空間とおなじ空間・タイミングで考える事ができれば、問題無いのでは？と考えます。
開口部を開放して、廊下？あるいは居間などと同じ一つの空間扱いする事ができれば。と言うことです。
間取りの関係で、どうしてもそこが独立してしまうようであれば、他の方策を考えねばならないでしょうが。

>このような状態ですと閉めてしまっても問題無いでしょうか？

図面をありがとうございます。
決して大丈夫と太鼓判は押せません。
が、「和室のドアは完全に取り外して使用しているため」と言うことであれば、二、三の注意をはらえば、良いのではないか？と、考えます。

LDKからは直接、おそらく排気口となっているだろう部分への空気の流れはスムースに行くでしょう。
和室は、この吸気が閉じられることで、空気の流れがよどみ気味になる恐れを考えます。

ですから、LDKから和室への積極的な空気の流れを心がける必要を感じます。たとえば、LDKから和室へ扇風機などを向けておくとか、和室側からLDKへ扇風機を向けておくとか、要は、空気の動かすことに気をつかう事が必要ではないか？と考えます。

これを見る限りは、理想的にはLDKを閉じて、和室を開けたい。間取りですけど・・・・。

簡単に書き加えてみましたので、参考にされてください。

ここでも、あくまでも「私感」です。

>逆に入ってくる臭いは拒まず、入ってきた臭いを早めに換気扇などに送る流れを作った方が(図の様に和室からリビングに向けて風を送るなど)良いのでしょうか？

これしかないように思います。
その時に、外気の吸入（給気）口ではなく、室内の給気を排出（排気）している所と、できればその能力を確認したいところです。
おそらく,「洗面」あたりに機械本体を置き、洗面・浴室・トイレなどで排気口を用意しているのではないでしょうか？
キッチンのレンジフードを接続しているのか？独立かは、そのシステムによります。

で、キッチンで「強」運転すれば、多量の排気が可能です。
玄関ドアの開閉が重くなるほどの効果もある場合もあります。
それを期待して運転すると、和室・LDKに拡散されてしまうかもしれません。
であれば、キッチンを運転しないで、扇風機を「窓」に向かって逆に「押し返す」感じで運転する事も、「試行錯誤」の一環になるかもしれません。
うまく臭いが消えてくれれば、即「窓を閉める」ということでしょう。

>また当たり前ですが和室側の窓を開けるとお隣さんの排気が直接我が家に入ってきます。

お隣からの「迷惑臭」の少ない時間帯を探すとか、しか思い浮かびません。
なんか皮肉っぽい行動ですが、「ファブリーズ」噴霧・・・ですかね？

吸気口の形状がわかりませんが、100φ程度の塩ビ管とかを使用しているのであれば、「パイプファン」に付け替えて、そこから排気してしまうという荒技も可能ですが、全体的な「換気計画」を壊してしまう可能性が大きいですね。
「試行錯誤」の一つとして、考慮も可能ではないでしょうか？
普段は未使用で、「窓を開け」て入ってきた臭い専用に排気する方法も、一考ですね。