Ｄｏｒａｍｉｆａｓｏさんが最終的にどうトラブルを解決したいのか、それが分からないのでとりあえず質問事項に回答します。

>素人の私は一級建築士なら建物全てに精通しているだろうと思っていましたが、そのような制約があったのでしょうか？

これについては福地先生が回答されているように、1級建築士であってもすべての建物に精通しているわけではありません。
学校の先生がすべての教科に精通しているわけではないのと同じです。
建設の世界は巨大すぎてそれぞれの分野に分かれしまってます。

>建築士事務所登録はどこにしていて、閲覧できるものでしょうか？

各都道府県にある「建築士事務所協会」で調べたり回覧するできます。
でも事務所を探すのにちょっと手間です。
栃木先生の言うとおり、市役所の建築指導課で聞いた方が良いかも知れません。



さて、業者ホームページ（以下HP）の件ですがかなりグレーゾーンです。
なぜかというと、建築士法に規定されている「監理」も「調査」もHP上に記載されていないからです。
そのためこのHPの説明文の行間を補填すると。

経験豊富な1級建築士（を所持しているだけの人）が、（現場の施工責任者として）建物構造を確認しながら施工箇所を調査し責任施工管理

となります。
なかなか理解しがたいのですが建設の分野では、「監理」と「管理」は分けられていているんですね。

じゃあ
・1級建築士の人がちゃんと工事管理してないの？
・現場に職人さんしかいなかったけど？
と思われるかも知れませんが、小規模工事（この場合は5,000万円以下）は管理するひとが常駐する必要はないんです。
そのため20件工事現場があっても、工事管理する人は一人だけでもよいということになります。

このHPは、最終的には優良誤認などに引っかかるのかなと思います。