家づくりにおいては、構造的な剛性を保つことで空気の流れを阻害させる、矛盾する場合も多くあります。
本件の床下の図面と写真はありますが、カビの事象が発生しているのが一階なので直接的な要因なのどうかを断定できません。

床下の写真では、とても良い状態にみえます。
床下の乾燥状態とその上の一階の状況が大きく関わります。
本件では床下環境に問題は無いように推定されます。

カビが発生するには、気温20度から40度、湿度60％以上、それに空気停滞とクロス糊などや汚れなど有機物の栄養分があることです。
空気の流れがあればカビ事象は発生し難くなります。
施工状態だけでなく、以上のような生活環境も思考してみてください。

インスペクションを行う立場から。。

インスペクションは「現状」がどうなのか？の確認と記録は可能ですし、何か不具合が発症していれば（本件はカビ）、現状から、原因として「強く疑われる事（本件は床下通気不良）」に関して「推測」「アドバイス」は可能です。

よく依頼を受けるのは、「因果関係を証明してくれ」。
これに関しては、客観的で、それなりの建築知見があればあるほど「証明は出来ない」としかいいようが無いのが現実です。ですから、私の場合はお断りしています。

本件でいえば、「カビの原因は床下の通気不足が強く疑われるものの、他の原因も考えられる」というお答えになってしまいます。

交渉や調停、裁判などで、このあたりが我々も一番歯がゆいところではあります。で、そうなると、更に難しいのが責任の所在と、過失割合。

客観的事実として、例えば契約書などで、書いてある事と現場が明かに異なる場合などは、そんなに揉めないのですが。。。ただ、それとて、その費用負担を先方に100％させるとなると、なかなか難しいケースが多いです。結果、10万円の費用負担をさせるために50万円の費用（インスペクションの報告書、弁護士費用などなど）がかかったというようなケースもあり得ます。

おそらく、写真を拝見すると、仰せの通り床下通気が原因であるような気もします。で、あれば、補修にさほど費用はかかりませんので、ご不満は相当にあるでしょうが、ご自分でどこかに依頼して補修工事をやってしまった方が、結果として費用的にも、現状を早く解決させるという意味においても、得策かもしれませんね。

基礎の鉄筋を切らぬよう「コア抜き」といって、穴を開ける事は可能です。既に空気の流れなどについてはご理解頂いているようなので、一番、症状の酷い部屋の床下に空気が流れるようにして、様子をみては如何でしょう。無論、穴を開けたところには、塩ビ製、若しくは金属製の換気口を設置して、ネズミなどの侵入を防いでください。

コア抜きは、たいがいの工務店や設備屋さんは出来るはずですので、見積もりして貰ってください。地域差もあり得ますので、金額に関しては控えます。