リビング階段からの冷気の吹き込みは、設計次第で十分あり得ます。
1Fと2Fの温度差による空気の入れ替わりは、思っているよりずっと激しいものです。

まずは階段の上下で扉を設けることをオススメします。
資金に余裕があれば2Fの窓に内窓を設置するのも良いでしょう。


全体の断熱は非常にお金が掛かりますが、内窓は費用対効果がとても良いので試して見る価値はあります。

今から約30年前、私の所属する会社で建てた住宅での話ですが、
今の一台のＦＦストーブで約40坪の住宅を暖房する。という趣旨で、
居間から二階に吹き抜けの住宅を計画しました。
結果としては、冬にクレームが来ました。

※睡眠前、ストーブを切って、朝一番にストーブに点火している。
※寒い、特に二階がいつまでも寒い
※冷気が床を走る。

こんな感じのクレームでした。

この使い方では、間違いなくクレームになります。

※ストーブは24時間使ってください。
ということです。
目標としては、家の中はどこもほぼ同じ温度にしたいのです。
住宅内に「非暖房室」を作らない。同じように一日での温度の差を作らない。
このことが必要となります。
そのために、「吹き抜け」は有効でもありますし、問題もあるのです。
住宅の壁・天井・床などの断熱の性能がしっかりしている。と仮定すると、
一階で暖房され、上昇した熱は二階を暖め、天井のそばでさすがに少し冷えた空気は、一階へおります。すると一階でまた暖房され、二階へ上がります。
この時、一階の暖房が無くなると、そのサイクルが切れてしまいます。天井部分には冷えた空気がどんどん溜まってきます。
朝、暖房が始まると、暖房で上昇した空気が冷気を、どんどん下に送り込むことになります。それも「ダウンドラフト」と呼ぶほどに強めに。
この時、24時間暖房でも、断熱が悪いと、暖気のサイクルでは無く冷気のサイクルを回すことになってしまします。暖かいまま（極端に温度が落ちないまま）下降する。というサイクルになりません。

はなぶさ　様の今回の件ですが、
※住宅の断熱性能を確認してください。
※非暖房室がありませんか。
※24時間暖房していますか。

吹き抜けは「諸刃に剣」な面があり、完璧とまで言わなくとも、しっかり考えてつかう事で、それは生きてくると思います。　

下階でドアとか、吹き抜けに膜とか、カーテンで仕切るとかは、基本的にはおすすめしません。