>透湿防水シートの表面が剥がれているものについては、そのままでも問題ないのでしょうか？防水テープでの処理が必要でしょうか？

現場的には、大きな問題で無い　と思われます。これが、ここそこにたくさん、というのであれば、施工者のスキルなり管理能力が疑われますが・・・・
もし、気になるのであれば、現場で「気密テープ」を一本もらって、ご自分で気になるところにお貼りになっても、良いのでは？

>テープを重ねる順番が下から順に重なっていない部分があります。

タイベックなどのように単純に重ねるだけであれば、下から貼って行かなければ、上から「水」が刺すこともありうるでしょう。テープの場合は、下からにするのがほんらいだよね??。で、良いのでは？と考えます。
下からということにこだわり、施工性が無視されても、「本末転倒」と言えますし。

業者と、良好な関係を保つ意味では、目くじら立てる必要は無いのでは？と思われます。

透湿防水シートの剥がれは防水テープで補修するのが一般的だと思います。瑕疵担保責任の検査があれば間違いなく指摘されます。
貫通部のテープの貼り方もぼくは気にします。検査も絶対ではないですがほぼ指摘されると思います。テープが完全にくっついていれば問題はないのですが、剥がれが発生するとそこに水が溜まってしまうのでさらに剥がれを助長してしまいます。両方とも直さなくていいってことにはならないかと思いますが、例えば現段階で既に外壁まで仕上がっていて、雨漏り等も起きていない状況で、工事写真を見たら、、っていう状況なら外壁を壊してまで直すかどうかは難しい判断かと思います。