>エアコンの重みに耐えられず壁が手前に倒れそうな感じにも見えます。

　
たしかに、それに近い原因と考えられます。
おそらくですが、新築時に（前回のリフォーム時に）大工さんがビス打ちを忘れた、あるいは、少なかったということですね。

>すぐに対応した方が良いのでしょうか？

対応としては、この部分のクロスを張り替える必要がありますが、石膏ボードにビス打ちを数カ所すれば良いでしょう。写真で見る限りは、「すぐにでも。」という風には見えませんが、
一応ですが、エアコン本体を固定している所の下地、固定のビスを確認しておく事は必要かと思います。本体を軽く揺すってみて、動くようであれば、急を要します。
まかり間違えて、エアコン本体の固定が心許ないのであれば、
その部分の石膏ボードを剥がして、下地を入れ直し、再度、ボード張り、クロス貼りという流れになります。

>対応する場合はリフォーム業者にお願いすれば良いのでしょうか？

ビスの頭が気にならないのであれば、ご自分で下地にめがけてビスを数本打てば問題ありません。
クロスの貼り替えを伴う、あるいは、本体の固定からやり直す。などであれば、リフォーム業者さんに相談が必要と思われます。

現場を実際に確認する事が重要だと考えられます。
その確認と、私の見立てを含めて、最初から相談する事も良いことかも知れません。

説明をもう少し優しくするべきでしたね。申し訳ありません。
二枚目の写真の「ボードアンカー」は、石膏ボード本体に効かすだけのものです。つまり、浮いているボードと一緒に浮いている物。と考えられます。

今回の事象の場合は、石膏ボードを下地の木材、さらに下の躯体などに効かせる事が必要になります。ですから、
1．浮いている石膏ボードをある程度の面積のある板などで、既存の下地と離れている分を押しつけ、下地の面に密着させる。
2．下地の木（だとおもう）に効くように、ビスを打ち付ける。
という事になります。

この時に、
下地の木ごと浮いているのであれば、業者に相談が必要です。石膏ボードを剥がして木下地を躯体に固定する必要があるわけです。
また、石膏ボードを押しつけないで、ビスを打っても、頭が陥没してしまうだけで、石膏ボードのほうが、弱いため引きつける事ができないのです。

気持ちを逆なでしそうですが、今回の説明をしなければいけない時点で、業者に相談される方が良い方とお見受けしました。

石膏ボードは,壁の中に下地材があって,そこにねじ止めして固定します。
下地を探すのには「下地探し」というのがあると便利です。
極細の針があって,石膏ボードに突き立てると,下地が無いとスポスポ入りますが,下地があると抵抗があってそれ以上刺さりません。
薄いべニアの時には力を入れると入っていきます。
その手加減でどの程度の強度の下地があるかが分かります。
下地の位置が分かったなら,そこに石膏ボードビスをねじ込みます。
そうすると,石膏ボードをしっかり固定することができます。
エアコンは付けたままで,作業しても大丈夫でしょう。
ビスの頭の白い軽天ビスというのもありますので,それを使うと目立ちません。
DIYで簡単にできますので,やってみて下さい。
下地探しと軽天ビスのサイトを貼っておきます。
ホームセンターでも売ってます。
あと,電動ドリルがあると作業が楽です。
充電式の安物で十分です。
https://www.monotaro.com/g/04544078/
https://www.monotaro.com/g/00277207/?t.q=%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC

先にご紹介した下地探しの商品のサイトには使い方のビデオがありますので,それを見ると壁の構造や下地の探し方などが良く分かると思います。

ｊｐｋｅｎ さま
フォローを感謝します。
私たちは、当然。でも、それを細かく説明しなければいけない。ということも多々ある事を忘れてしまうこともあるのですね。肝に命じます。