あくまでも、私感で語ることになりますが、

まず、「浴室用」と銘打つ製品であれば、本体の防水はそれなりの性能を持つ物と考えられます。
コーキングと呼ばれる物の「信頼性」ですが、語弊を恐れなければ「必ずしも」と考えます。

今回の場合ですが、

>上左右3方はコーキングしてるのですが、下はコーキングしていませんでした。

下側は、まかり間違えて？・・・裏側に水が挟まったときに、下から排水。と考えられます。

>この場合湯気やお湯等がリモコン裏に入っているのではないかと考えています。

入ってしまった場合、上の状況で、下に抜ける事になります。
ここで、もし四方がコーキングの場合は、挟まり込んだ水分は、少量でも いつまでも抜けず、壁・本体等を侵し続けると考えられます。「蒸れる」という言葉で表現しますが。

>この場合湯気やお湯等がリモコン裏に入っているのではないかと考えています。

その恐れを否定はしません。が、本体の防水、それらのスムーズな排出。
それにより、問題無いと考えます。

>コーキングするだけではなく、一度リモコンを外して壁の中の状態を確認した方がいいのでしょうか。
>また、リモコンの裏側に水気が回ると故障したりしないのでしょうか。

現状のままで、問題無いと考えます。
もし、コーキングを切り、外したのであれば、ついでに、本体ウラにある、コードの周辺のシーリングを再確認しておけば、「安心が増すよね？！」くらいでしょうか。再度のコーキングは、最初のコーキングよりも、気を使うことになります。しっかりと以前のコーキングを取り除いておかないと、見てくれも悪くなりがちですし、シーリングの性能に影響もします。
リモコン本体には、ある程度の防水性能が担保されていると考えられ、「蒸れた」状態を創らない限りは、問題無いと考えます。

浴室用のリモコンの場合、各メーカーリモコン裏の配線部分に水が入らないように防水の両面テープがついています。「エコキュート 浴室リモコン 裏」で画像検索するとなんとなくわかると思います。なので止水という意味では正しく取付されていれば問題がありません。コーキングはどちらかというと壁とリモコンの隙間隠しの意味合いが強いと思います。四方を囲ってしまうと万が一の場合に水の逃げ道がなくなって、防水テープのわずかなシワや隙間から浸水してしまう可能性が出てくるので下だけコーキングを打っていないと考えられます。問題のない施工なので安心してください。

「リモコンの裏側に水気が回ると」リモコンが故障するというよりはリモコン配線を通している壁の穴から湿気が壁の裏側にまわります。リモコンの位置にもよりますが壁内結露の原因になるので注意が必要ですが、今回のことではそのような心配はなさそうです。

ちなみにリモコンを脱着することは、防水テープを痛めてしまいますので、お勧めできません。