矢印の部分のタイルですが、両端の長さがずれている場合はカットミスかと思います。
そうでなければ下地の関係かと思いますので、やり直ししてもらうと良いです。
目地を見ると気になりますよね？
その辺も伝えてみると良いかもしれないですね？

>「タイルの表面は平らではなく凸凹しているから、水平器を置くとこによって傾きが違う。」という内容のことを言われました。他の面も良く見ると凸凹しており、タイルの問題というより下地がおかしいように感じるのですが、よくあることなのでしょうか？

タイルは、「焼き物」です。
何を言いたいのか？というと、焼く前にどんなに「正確」な寸法でも、焼くことにより「収縮」し「変形」しますし、「色彩も変化」します。
もちろん、焼きあがった時点での寸法・形状が正確に近いようには製作しますが・・・限界は存在します。
あとは現場での職人の「スキル」の問題かもしれませんが、これも、「必ずしも完璧には」、と思われます。
やり替えによる修正は不可能ではありませんが、完璧を求めることはご自由ですが、修正の数を重ねるごとに難しくなると考えます。

>両端の長さがずれている場合はカットミスかと思います。

私の見るところは、「ミス」と断じるものはないと考えます。
タイル割（タイルの貼り分け）の関係でならざるを得ない。そのような状況と考えられます。
おそらくは、別のタイル割をしたにしても、別のところに「ずれ」を生じる。と考えます。

あくまで私の考えですが、

>全部剥がしてやり直してほしい、と伝えているのですが、

「無理難題」とは言いませんが、「じゃあ、どうすればいいの？」が正直なところと考えます。

>サイドのタイル交換のみで済ませる、とも言われてます。

先に言ったように、タイル割が変わるだけで、どこか別のところにしわ寄せが行きますよ？その件は施工者とよく相談をすべきですね。

私の主観なんですが、元のタイルの方が綺麗でしたね。。まず残念なのが、もともと綺麗にタイル割りがされていたのに、新しくした際は元の大きさ優先でタイルが全然割れていない点です。「タイル割」っていうのはプロなら当然に考えることで、特に今回のように両端焼くものでタイルで仕上がるんであれば、こう言ったタイル割り無視した貼り方はちょっと恥ずかしい仕事になります。タイルのサイズは元と同じようですが、「角をRに」という要望で選んだタイルの役物（先が曲がっている部材）が平物と同じ３００格ではなかったがためにタイル割りが崩れてしまったようです。そのためにタイルに切り物が入り余計にきれいに見えなくなってしまっています。既存のタイルを一度全部剥がしていると思いますが、その段階で両端をつけ送りと言って、幅を広げてタイルを貼り直していたら、お金は余分にかかりますがきれいになったと思います。これは施工以前の設計企画のお話です。

施工の方も正直言って下手です。目地が斜めになったり目地違いになってるのは言い訳もできません。一番気になっている斜めに折れているっていう部分はもしかしたらわざとかもしれません。水たまりにならないように勾配をとっているつもりなのかもしれませんが、これも一段全部同じ勾配にすべきです。その購買に合わせて側面もカットして貼ります。２段目の小さなタイルもカットが下手ですね。人を変えて側面だけでもやりかえてもらったら少しは見栄えが良くなるかもしれませんが、購買で折れてる部分も気になるようであれば張り替えるしかないでしょうね。階段の途中でタイルを折って勾配を取るのは普通やらないと思います。

全部張り替えるのはやりたがらないでしょうね。上の広い部分に何も支障なければ、１段目全部とサイドを張り替えてもらうしかないかもしれませんが、職人は変えてもらった方が良いかもしれません。

全張り替えしてもらえることになったようで良かったですね！今度張り替える職人さんには前回何がダメだったかということを十分理解してもらってから施工をしてもらわないと、せっかくやり直してもまた同じこと、似たようなことが起きる可能性があります。そこは十分注意しましょう。

穴はタイルをはつり剥がすときにはつり機を使ったのだと思います。下地がブロックのようなので、ブロックにモルタルが詰まっていない部分が壊れて、中の空洞が見えてしまった状態だと思います。タイルを貼る分には特に支障はないと思いますが、その空洞部分に水が溜まったりすると、そこだけしばらく乾かなくなったり、白華現象の原因にもなりうるのでタイルを貼る前にできるだけ充填して塞いでもらう方が吉でしょう。

壊し方に関してはそれ以外特に乱暴な作業ではなかったと思いますよ。乱暴な職人さんがきたとすると、もっと凸凹になると思いますし、外壁や玄関を傷だらけにする人もいます。壊し方はきれいな方だと思います。

このまま放置しても何か悪影響が起こることはないかと思いますが、タイルを施工する際にあまりにも濡れていたり、水たまりができている状態で、タイルを貼った後に中に水が溜まるような状態だと、白華の原因になるので、できるだけ乾燥している状態の方が良いと思います。絶対的な乾燥状態が必要なわけではないですが。