雨水を下水に流すと、下水処理の容量が極端に増えてしまいますので、純粋に処理すべき下水のみを下水本管に流す必要があります。また、地域によっては地下水の組み上げによる地盤陥没などの対策のため、適度に雨水を地盤に返す、という意味で雨水は地盤に浸透させるという方法の鳥薄いと下水を分流させることもありますし、雨水処理施設が整備されていて雨水の流入先がある地域もあります。いずれにしても各地のルールに合わせる必要があります。

ただし今回の場合、どんなきっかけで汚水管の検査をすることになったのかわかりませんが、このタイミングで是正命令が出るような状況ってないと思います。放置をした場合にどんな罰則があるのでしょうか？下水の検査以降で不正工事がされていなければそのままでも大きな問題にはならないような気がします・・・

>雨水は雨水管へ流したいと思い、施工会社、および市に対応してもらいたいのですが？

失礼な言い方に聞こえたら、申し訳ありませんが、
ご自分での負担は無し、あるいは最小で。
施工会社、市に「おんぶにだっこ」と、聞こえますが？どうでしょう。

まず、２５年前の施工で、このような件で、施工会社が積極的に動くべき動機は無いでしょうね。おそらく、動かされるべき基準・規制も無いと思われます。
「市」の動きですが、それぞれの市町村の考え方、予算の配分等の関係でしょうけど、
それによる「直接的被害」「直近に想定される大規模被害」でもなければ、動きは悪いか、無いかだと推測します。
実際に、「どんこ」様の件で被害が生じた。
他所だけど、実際の被害を追ってきたら、どんこ様の件が、時間の問題で大被害を招きそうな恐れが勃発した。とかの時でしょう。

現状は、「既存不適格」のような扱いで、その周辺で公共工事でもあるタイミングで触ってもらえる？可能性を含む。って感じでしょうか？

是正命令が出た時じゃなくて、ご本人の気持ちとして法令遵守した形にしたいということなんですね。

まず、下水局が是正をしてくれることはないと思います。下水局が工事をしたわけではないからです。検査の不備は認めるかどうかわかりませんが、仮に認めたとしても施工責任は絶対に認めないと思います。実際に施工をしていないわけですから。
責任を求めるとしたら施工者です。施工した会社が存在すれば施工会社に今回の話の経緯を説明し、ご自分の要望を伝えたら良いと思います。このやり直し工事について必ず対応しなきゃならないという法律はなさそうですが、誠実な施工会社であれば対応してくれるんじゃないかなと自分は思います。

あとは工事内容によるかもしれません。接続し直す工事をするために広範囲のコンクリートを壊さなきゃならないなどの状況が出た場合、工事を躊躇する材料になります。代案として、浸透マスを設置してオーバーフロー分を下水に繋ぐなどの可能性が考えられます。今がそうなっているのかもしれませんね。オーバーフロー分を繋いでいい悪いは地域によって違うので。