>板の間から細い釘が飛び出してきました

推測するに、「フィニッシュネイル」「ピンネイル」と呼ばれる、細い針のような釘で、頭が無いものではありませんか？
通常は材料に頭部分が埋没するように打ち込み、頭は出ないものと認識していますが、頭を出しているのですね。

>の釘は上貼りしたフローリングの床鳴りを防ぐためのもののようです。
>抜いた場所は床鳴りしていること

施工として、上張りするのであれば「接着剤」をしっかりと塗布して施工するのでしょうが、うまくいかなかった？あるいは、不完全だった。可能性を考えます。

>直してもらっても、また新たに釘が出てくること
>一度釘で怪我をしたこと(軽い怪我のため、病院にはかからず診断書はなし)
>新生児がおり、将来的にその釘による怪我の懸念があること

大人が怪我をしても良いとは言いませんが、「気を付ける」こともできます。
新生児にそれを求めるのは不可能ですし、それをしっかりと施工者に言い、直してもらうことが必要と考えます。
ここで、

>床鳴りを防ぐためなのか新たに打ち込んだネジがあり頭が露出していて見栄えが悪いこと

実際は、出る釘を叩き込む。ことよりは間違いなく「安全」な選択と思われます。この場合は、確かに見てくれは悪いですが、頭の露出分は、陥没気味にする、それを埋める。という流れがいかがでしょう。
専門業者もいますし、埋める材料も購入することができます。あるいはですが、ローソク、クレヨンなどを溶かして、埋めることも可能です。

もちろん、業者との交渉事ですが、全面張り替えもあるでしょう。
個人的にはお勧めしません。
現に住まわれての「床の全面張り替え」は、心身ともに大きな負担になると考えられます。
新生児がおられるのであれば、大人以上にシビアなことになるでしょう。
同じく、大きな工事をされることによる舞い散る「ホコリ」・・・
大人はともかく、新生児が耐えられるでしょうか？

しばらく、見栄えを無視して「安全」を選択し、子供も大きくなってしまえば、フロアも「張り替え時期」と、割り切る考え方もできないでしょうか？
誤解を恐れずに言わせていただければ、床なり壁なり、「子育て時期」には、痛み放題・・・子育てが落ち着いたら、とか、どこかを修繕・改修するついでに・・・ということをお勧めしますが？いかがでしょう。

古いフローリングを剥がさないで、新しいフローリングを上貼りする工法のデメリットがまさにこれですよね。床の作りが複雑になってしまうために床鳴りを直すのが難しくなります。古いところでなってるのか新しいところでなってるのかわからなくなります。

床鳴りを直す際に基本的には脳天から(上から)直すのはイレギュラーです。床下に潜れれば下から直すのが原則です。それができないときは上から直すこともありうるのですが。ただ上から直すとしてもビス打ちして床補修を入れるでしょうね。細い針のような釘を使っているのはその補修費を省略させるためでしょう。安全面を考えたら良いことではありません。

理想的には、その細い釘を打った箇所はもう正確にはわからないでしょうから、床鳴りを直した部分のフローリングを貼り替える。もしくはビス打ち後にフローリング柄のフロアタイルなどを貼る。のが現実的ではないかと思います。そのどこまでを無償でやってもらえるのかの交渉になると思います。施工業者は自分の都合だけ言ってくるので、あくまで契約してお金を支払った相手にクレームを言いましょう。