巾木は構造的な力は一切期待されていないものです。
要は、床と壁との「見切り材」に過ぎません。
この穴が平面図上のどの壁かにもよりますが、部屋の間仕切り壁と思われ、
マンションであれば(木造は考え方が違います）それにより外気の流入出が有るとは、考えられません。隙間風というほどの風はないかと思われます。
また、木造とは考え方が違う、もう一つは
壁下地のボードを留めている下地の考え方で、おそらく、この巾木の裏側には最初から(施工・工法上）下地は存在しないと思います。
要は壁下地のボードだけしかないと思われます。何かの大きめのちからで(巾木の撤去時とか）で、簡単に破損します。
それを律儀に直さずとも、各柱、間柱部分、LGSの縦部材とかで十分に固定されるすべのものです。

>この壁の状態で上に巾木を貼るという工事でいいのでしょうか。

通常は問題はないと判断できます。

>そうすると自然とすき間風が入ってくるように思います

マンションということを考慮すると、問題視するには及ばないと考えます。
「気になる」「それでも心配だ」ということであれば、巾木施工前に床と壁との取り合い部分でコーキングを施工してもらうといいでしょう。(有料の可能性が高いですけど）

>そもそも巾木が不安定なのではないかと感じるのです。

固定に問題はありません。壁の強度面でも、何の問題もないと思われます。

>壁の工事のし直しをお願いすべきでしょうか。

ダメとは言いません。そこまでの必要性はないだろうということです。
ご予算が許せば、再度、壁のボードの撤去、再施工、表面のクロス(塗装？）
ということになります。
ボードは部分的には可能でも、表面の仕上げは、基本的に部屋すべてになります。下地の構成は変わらないので、巾木裏の下地がないことは、変わりません。
「どうしても気になる。」ということであれば、
室内の壁下地からすべて解体撤去後、LGSの下地を木造の下地に変え、巾木裏に「貫」と呼ばれる部材を施工することだと思われますが。。。
そこまでする意味は皆無だと考えます。

>壁は部屋の間仕切り壁ではなく隣戸との間の壁になります。

隣戸との隔壁であればなおさらに安心だと思われます。
法的には隣戸との間は、「防火隔壁」として、きっちりと分けることになっています。
ボードの穴はともかくも、隙間があり隣家との間から風が来るというようなことは、あり得ないと考えられます。