>2階浴室の床部分で場所は排水溝近くになるのですが、その部分を踏むと、沈むような、へこむ感じがあります(下に支えがないような宙に浮いた感じです)。

まず一つ、確認ですが、現在お住まいの住宅の以前は、どのような物件にお住まいでしたでしょう？
「造作浴室」、つまりは「ユニットバス」以外の物ですか？
であれば、ましてや床が「タイル」等であれば、床の足触りなり、固さは雲泥の差でしょう。
「ユニットバス」であったにしても、一階で、木造であったとすれば、これも、極端に変わる可能性は大きいと思われます。
メーカーの違いによる強度感の違いも、少なからずはあるかもしれません。

>設計時に、鉄骨ユニットなので木造とは浴室を支える構造が違う？という説明はあったのですが、構造的に本当に大丈夫なのかとても心配です。

例えば、本来は必要である床下の支えを設置し忘れているなど。

浴室を支えるという基本的なことは、大きな差は無いと考えられますが、
手法の違いでしょう。
具体的にどのように・・・というと、様々と言えます。
業者の言い分は、床の支え材の「固さ」と「柔軟性」の兼ね合いを言っているのだと考えます。弱いわけでは無く、柔軟性にまさる材料、手法での支えを行っていると考えられます。
例えば、105mm角で受けるのが木造での通常でしょう。それを鉄材で受けるとすれば、材料の固さよりは柔軟性が大きめになると考えられます。（この場合、具体的なおさまりを確認できませんので、推測の域を出ないことですが・・・）

なお、「鉄骨ユニットの戸建て」と言うことですので、
あらかじめ決まった仕様の中でのことでしょう。さらに同様な物件を数多く施工している実績もありますし、「ノウハウ」として、問題ないと判断しているのではないでしょうか？

実際に「万が一」施工中のアクシデントして、部材の選択・使用に問題が無かったとは限らないわけですし、写真等の提出、最小限の解体・開口による現場確認などに関して、施工業者との相談の余地はあると考えます。(工期・負担額・施工法など）