>コンセントの位置について、水濡れなど心配ない場所ですか？
>もう少し右にずらしたほうがよいのではと思ってますがもうクロスまで済んでます。

コンセントに限らずですが、「接続部」というものは、多かれ少なかれ必要ですし、付けざるを得ません。
コンセントそのものに工夫を凝らすか？接続方法、部材に工夫を凝らすかでしょう。
コンセントにかぶせる「防水カバー」も有りますし、抜き挿しが無いと仮定すれば、防水のコーティング(防水部材でかぶせてしまう）をすることは可能でしょう。同じく抜き差しを想定しないのならば、コンセント開口内部で、直結しめくらカバーでかぶせてしまうとか・・・工夫はできるでしょう。
逆に抜き差しを想定する限りは、カバーなどしか選択肢は無い気もします。

コンセントの開口をクロス施工後にすることは不可能では無いと思います。
もちろん、何もないでは無理ですけどね。
現場の確認ができないので、推測ですが・・・
クロスが新しいうちは、部分張り替えでも違和感は無く施工できるでしょう。
お気に召す場所に開口し、そこに配線の移動をし、コンセントの部材一式を壁に固定するだけです。
ボックスは付けられないでしょうから、専用の部材でボックス無しで固定することになります。

施工業者と、相談されることをおすすめします。ご希望に添うことは不可能では無いでしょう。条件・デメリットをよく相談してください。

幹太くんなどのガス乾燥機を設置する場合、慣れていない設計、施工者ですと、あらゆるほか設備との干渉が懸念されます。その際にきちんと図面化して確認することが大切だと思います。こちらの部分の位置関係を示した展開図などはありますか？

おそらく幹太くんを専用架台で設置する予定なのかもしれませんが、その際にコンセントを端に施工すると、専用架台の足に干渉する場合があります。それを避けるために少し内に入れているのかもしれませんね。

あと、手前の浴室乾燥暖房機のリモコンなどが幹太くんに干渉しないか？など、展開図で確認がされているのか、お話しされるのが良いと思います。

コンセントと水道が近いから何か問題が起きる？ということはあまりないと思います。

すみません。？マークに今、気がつきました。

洗濯機で洗濯する際に水が跳ねますかね？蓋が閉まっていないと運転ができないと思います。仮に跳ねるとしたときに真後ろの方が蓋を開けた際にガードになって水がかかりにくいのではないでしょうか？

高さは1300くらいが多いと思いますが、ケースバイケースと思います。洗濯機幅よりも内側が普通か？というのもケースバイケースですが、それが普通じゃないよねってことはないと思います。