>（1）防湿シート

配筋の下の「ポリフィルム」でしょうか？
配筋検査、配筋作業等、歩くことにより気を付けたにしろ、キズはつきものです。さらに下は、捨てコン、砂利等のゴツゴツした物ですからね。
テープを貼ることは「丁寧な施工」と言えるのでは？

>（2）雨のなかのベースコンクリート打設

よく誤解しがちですし、考えがちですが、
コンクリートの固まることに関して、「乾燥」して水分がなくなることにより固まるわけではありません。
かえって水をかけて「散水養生」すら有るくらいなのです。まさに現場の職人さんの言うとおりですね。
また、コンクリートには、あたかもスポンジのごとくに「水を吸う」こともあり得ません。現場の判断はおかしくは無いと考えられます。

>（3）打設翌日の型枠の取り外し

一日での型枠解体は、決して勧められることでは無いと考えますが、
確かに「多少柔らかい」とか「少しもろい」とか、いくつか注意点はありますが、それにより、形が崩れるような弱い強度ではありません。
「工期の関係で少し早めにした」にすぎないと考えられます。

>ベース表面は浅くですが雨跡もついてザラザラで、強度も心配です。また、後から隠れるとは言え、機材箱や靴の跡などもついて汚いです。

ベース表面に限らず、「金ごて仕上げ」でもなければ、表面は多かれ少なかれ、粗面です。ましてや、上に布基礎、仕上げのコンクリート、モルタルなどが載る部分はあえて表面を「荒らす」施工も存在します。ご心配は無用と考えます。
さらにご自分でもわかっておられるように、「後から隠れる」ところに、あえて美観は必要でしょうか？強度問題は一切ありませんし・・・・
ただ、「靴の跡」などは施工者側の細かな配慮の差でしょう。
申し入れることは、施主として攻められることでは無いと考えます。

>アンカーボルトが斜めになっていました

写真の程度であれば、土台の施工時にまっすぐに直して施工することで、通常の施工状態と考えられます。

（1）防湿シート
実際それしかやりようがないというのが正直なところだと思います。鉄筋を敷設した後だとその下のシートを直すのは困難です。なので破れないように作業をしたいのですがどうしても人のやる作業なので。これを防止するためにも捨てコンを打つのですが、昨今材料の高騰で中のステコンは省略することが増えてはいますね。穴が空いてしまったところには改めてシートを大きく上から被せるといった方法も検討されたらいかがかなと思います。

（2）雨のなかのベースコンクリート打設
基本的にNGです。見えなくなるから良いというわけでもありません。基礎コンクリートはきちんと配合されていますから雨の中で打設をするとその配合が変わってしまいます。（水セメント比）それから打設中に雨に打たれると、表面部分が常に打撃を与えられるため、脆弱になります。そのためいつまで経っても表面が削れたり粉っぽくなります。これは表面だけなので強度が直接弱くなることではないかもしれませんが、税従悪僧ができた分、コンクリートは薄くなったのと同じなので、どのくらい強度に余力を見てるのかと被り厚さの問題が出ますね。
ぼく個人的には立ち上がりの打設であればギリギリ小雨なら面積が狭い分許せる、レベラー乗っかるしいいかなというところですがそれでも滅多にやりません。本当にどうしても工程が厳しいときですね。ベースは絶対にやりません。それでもこういうケースは見たことがあります。極端にコンクリートが固まらないといったケースにはならない気がします。元々の設計強度が住宅の場合異様に高いので。それでも心配にはなりますよね。

それにしても打設中に水を撒いたり、水を張ったりはありません。これも配合が変わってしまいます。翌日など効果が進んだ際に乾燥防止で水を撒くことはありますが、それをしなくても十分強度は出ます。また硬化に熱も使うのであまり水をかけて冷やすのもいいことはないです。もし心配であれば、ベースの一部をコア抜きして圧縮強度試験をすることができます。もちろんそのコアを抜いた部分は傷がついて弱くはなってしまいますが。。圧縮強度試験は今、全部でやっているとは思いますが、テストピースは雨が当たらないように保管されていると思います。実際の強度は実物をコア取りするか、精度は下がりますがテストハンマー試験をするしかありません。昔でいうシュミットハンマーですね。

（3）打設翌日の型枠の取り外し
これは建築基準法とJASSで規定があります。日数での制限のほか、強度測定をして型枠をバラす方法もあるにはありますが、夏でも翌日に強度が出ていることはないと思います。ただ、固まってはいるので、乱暴な作業をしなければ大きな問題はないのかなーと思います。高さのある擁壁や重量のある箇所がある場合、危険性があります。あとは乾燥防止ですかね。

お写真の方、ポリフィルムは近くで見てみないとわかりませんが、明らかに穴になっちゃってるところはきちんと塞ぎたいですね。ベースの汚れや模様はある程度仕方のない部分もありますが、気を使って施工してもらいたいものですね。足跡がついているのはほんと恥ずかしいです。汚してしまったらそれこそ水洗いをして綺麗にして帰るべきです。
アンカーが斜めになっているのは、まー一般的です。全てをまっすぐ立てるのは難しいので、大工さんが土台を入れる時にトントン叩いてまっすぐにしてから入れます。