>?基礎コンクリートに写真のような太い頭の釘を4カ所も打って基礎コンクリートに悪くないのでしょうか？寿命が縮みませんか？

一応、言わせていただくと、これは「釘」ではなく、「アンカーボルト」でしょう。
基礎や土間などに物を固定する時の「必需品」です。釘で固定できる物は、逆に限られるでしょうね。ましてや、これとて、専門のコンクリート釘などです。
基礎コンに良いか？言われれば、もちろん「無い方が良い」でしょう。
では、何を使うのか？他の選択肢はほぼありません。

>基礎コンクリートに写真のような釘を、打つこと自体はよくある話ですか？

何かを後付けで固定したいと考えるとき、「必需」といえるでしょう。
もちろん、打つ位置、深さ、太さなど細心の注意が必要では有ります。
場所や用途により、種類を選択する必要もあります。
ただ、部材などの選択はあっても、用途に関しては他に選択肢は無いと考えます。

>?ミスの後の処置は釘抜かないで上から防水の樹脂を塗るだけで本当に大丈夫なのでしょうか？もしくは抜いたり、頭を削ってフラットにしたほうがよいですか？その振動が基礎によくなさそうでそのままです。

施工的に「ミス」か？と言われれば、「打ち合わせミス」では有っても、おかしいことをやっているわけでは無いと考えます。
「みみすけ三号」様に、良く確認をしなかった？図面の勝手な解釈、変更を行った？などで、「常識外れ」の施工では無いと、私は考えました。
後処理ですが、アンカーであれば、穴の中でアンカーの足が開いています。
これを「抜く」ということの方が、基礎を痛める可能性を、大きくします。
その後、ボルトを抜かないことは理にかなっていると考えます。
その防水、浸水の防止のためのコーキングも、理にかなっていると、考えられます。

>?こんなミスがありましたが謝罪で普通ですか？土間コンクリート代は請求されてません。

ミスか否かはおいておいたにしろ、「謝罪」されたのであれば、何かの落ち度を認めたのでしょう。それ以上のことでは無いでしょうね。
土間コンの代金を請求されない。ことは、「施工者の落ち度」を認め、それに対する「誠意」なり「気持ち」で、そこで「矛を納めて」いただけないか？というのが、私の考えですが？