>?基礎コンクリートに写真のような太い頭の釘を4カ所も打って基礎コンクリートに悪くないのでしょうか？寿命が縮みませんか？

一応、言わせていただくと、これは「釘」ではなく、「アンカーボルト」でしょう。
基礎や土間などに物を固定する時の「必需品」です。釘で固定できる物は、逆に限られるでしょうね。ましてや、これとて、専門のコンクリート釘などです。
基礎コンに良いか？言われれば、もちろん「無い方が良い」でしょう。
では、何を使うのか？他の選択肢はほぼありません。

>基礎コンクリートに写真のような釘を、打つこと自体はよくある話ですか？

何かを後付けで固定したいと考えるとき、「必需」といえるでしょう。
もちろん、打つ位置、深さ、太さなど細心の注意が必要では有ります。
場所や用途により、種類を選択する必要もあります。
ただ、部材などの選択はあっても、用途に関しては他に選択肢は無いと考えます。

>?ミスの後の処置は釘抜かないで上から防水の樹脂を塗るだけで本当に大丈夫なのでしょうか？もしくは抜いたり、頭を削ってフラットにしたほうがよいですか？その振動が基礎によくなさそうでそのままです。

施工的に「ミス」か？と言われれば、「打ち合わせミス」では有っても、おかしいことをやっているわけでは無いと考えます。
「みみすけ三号」様に、良く確認をしなかった？図面の勝手な解釈、変更を行った？などで、「常識外れ」の施工では無いと、私は考えました。
後処理ですが、アンカーであれば、穴の中でアンカーの足が開いています。
これを「抜く」ということの方が、基礎を痛める可能性を、大きくします。
その後、ボルトを抜かないことは理にかなっていると考えます。
その防水、浸水の防止のためのコーキングも、理にかなっていると、考えられます。

>?こんなミスがありましたが謝罪で普通ですか？土間コンクリート代は請求されてません。

ミスか否かはおいておいたにしろ、「謝罪」されたのであれば、何かの落ち度を認めたのでしょう。それ以上のことでは無いでしょうね。
土間コンの代金を請求されない。ことは、「施工者の落ち度」を認め、それに対する「誠意」なり「気持ち」で、そこで「矛を納めて」いただけないか？というのが、私の考えですが？

>それは壁や基礎にとってよかったのか　どちらでもよかったのか

あくまでも現場の状況が最優先の話ですが、
一般的には、基礎の「壁」部分で荷重を受ける。というより、「床」で荷重を受けることが、「理想的」とは、言えるでしょう。
ただ、他にいろいろな条件とか、状況とかを考慮しないで、「一般的に」に過ぎません。

>抜かないでフラットにアンカー自体することはしたほうがよいですか？それのもこのままのほうがよいのでしょうか？

アンカーもいろいろな種類があり、当該の物がどのような物かがわかりません。
例えば、雌ネジになっていて、基礎に埋まっているアンカーに、市販のボルトなどを締め付ける。タイプのものであれば、アンカーを無理に抜くことはせずとも、ボルトを挿さない状態でコーキングで埋めてしまえば、目立たないでしょう。
アンカーが雄ネジになっていて、ネジ部分がコンクリ表面から出ていて、そこに付属のナットを使用して緊結するタイプであれば、
抜く、切る等はおすすめできません。美観的にも、付属のナット共々に、コーキングで固めることが、私は良いのでは？と考えます。
強いて言えば、「抜く」よりは、「切る」方が、比べるにはベターですけど。

>の本数や変更箇所など是正報告書を貰うことは一般的にやりすぎでしょうか？

ことここに至った、その状況がわかりませんので、ジャッジの範疇では無いのですが、「報告」をください。は、通常のことだと考えます。
「報告書」をください。になると、第3者的には、「なに、大事になる失敗したんだ？」と考えるでしょうね。
あるいは、「相当な細かいお客様なんだろうか？」と、考えるでしょうね。
もちろん、「報告」と言われて、「報告書」を出すことは、業者の側の考え方。対応の仕方次第です。

>たとえば給湯器を何年後かに変える際、アンカーボルトなどはどうするのでしょうか？やはりそのまま？！

床置きに使ったアンカーにせよ、基礎に打ち込んだアンカーにせよ、必ずしも流用は出来ないと考えますが、多分、流用は出来るでしょう。
特に基礎の方は、機器を載せた「ブラケット」は流用が効く可能性が比較的高く、アンカーを再使用することも、出来ないことでは無いと考えます。
いろいろと、問題もある可能性はありますけどね。
例えば、アンカーそのものの，経年劣化、ブラケットの経年変化等、時間の問題。再使用に際しての微妙な差をどうのように修正するか？物理的な問題等ですね。
床に機器を固定するために打ち込んだ物は、ほぼ、再使用は出来ないと考えます。機器の足の固定は、確実に各機器に独自の場所、大きさで付いていると考えられます。

>せめてどの釘(太さや長さ)を知りたいと思うのは細かすぎでしょうか？
>現場監督さんに施工したガスやさんに来て説明を求めるのはやりすぎですか？

否定はしませんし、聞けば問題なく答えるでしょう。
ただ、「そんなこと知って、どうするの？」という対応でしょうね。別に悪いわけじゃ無いけど、・・・メモリーの無駄使い？って、思われると考えます。
もちろん，それを何かに流用する情報で有れば、必要ですけどね。
ちなみに、以前言ったように「釘」では無く「アンカー」ですよ。

>ご自宅でこのようなミス&処置ありましたらどうされますか？新築なのに傷物にされて本当に悲しい限りです。

お気持ちを理解しないわけではありません。
ただ、切り口、見る方向が少し違うかもしれません。
私であれば、(仕事柄もあるけど）新築なんて、所詮は新品、白無垢・・・いつまでも無垢でなんか居ないし、これから自分色に染めていこう。
そもそもがいつまでも、新婚さんの二人っきりじゃ無い、子供が出来、ミルクが床に落ちる。うんこは畳にこびりつく、柱は傷だらけ・・・。
わいわい言っていた時間も、成人した子たちは居なくなる。
3部屋必要だった生活が、居間と寝室だけで事足りる。

それなら、いつまでも「新」にはこだわりません。「現」に舵を切りますね。