はじめに質問です。
敷地のレベルはどうなっていますか？周辺地域と比べ高台にありますか？低地になっていますか？
「困っています」さんの１階の床レベルは、道路より高いですか？低いですか？
大雨のときは、道路は冠水していましたか？

マンションの排水管は、各階で排水竪管に接続され、最下階でまとめて横引きし、外部の公共下水に放流されます。
この横引き管は、最下階の排水系統と、それより上の階の竪管系統とは別にします。
一緒にすると、横引き排水管内で、先のほうにつまり等が生じた場合に、上の階の排水を流すと配管内の空気が押され、トラップの水が噴出します。

管理事務所に竣工図がありますので、配管系統図、又は１階配管平面図などを見て、「困っています」さん宅の排水管がどのようにつながっているか確認してください。

「困っています」さん宅の排水管は、最下階（１階）の排水管と、上の階の排水竪管が合流されて、床下で横引きされているものと想定されます。
集中豪雨時には、道路が冠水していなくても、公共下水管が満流となっている場合があります。
その場合、敷地内排水管の先の方（公設枡）まで水が来ていれば、同じような現象が起きるでしょう。
上の階の排水は、本格的な詰まりではないので、状況から判断してそのまま流れているようです。

配管系の原因としては、横引き配管の勾配が充分でない場合もあります。雨が降らない日にも発生するのなら、この原因も考える必要があります。
いずれにしても、直すには手間がかかります。
しかし、基本的な問題に係る瑕疵ですから手直しを要求出来ます。

先ず記録をとっておいてください。出来たら写真も。

アフターの担当者は、施工者（ゼネコン又は給排水工事業者）ですか、デベロッパーですか。
多分施工側の担当者では手に負えないと思います。
管理組合に話をあげてください。
同時にデベロッパーの営業担当窓口に善処を求めてください。
大手ならキチンと対応してもらえると思います。

解決策があるかどうかは、状況確認しないと分かりません。
上に書いた以外の原因もあるでしょう。
１階の他のお宅は如何ですか。

どうしても直らないなら、買い戻してもらうしかありませんね。

想定されたとおりの状況ですね。

前面道路より1階のレベルが低いの場合は、設計的にいろいろ配慮されていなければなりません。
今のところ「困っています」さん宅への排水の噴き出し事故だけですが、道路が冠水するような集中豪雨の場合は、敷地・建物への雨水の侵入と、排水管からの雨水の逆流の恐れがあります。
（詳細については、拙著「マンション設備『マサカ』の話」（オーム社）をご覧下さい。

「今後を考えると、私どもでは解決は難しいのではと思っております」とありますが、どういう意味でしょうか。
アフターの担当者が難しいようなことを言っているのかもしれませんが、無視してください。
トラブルは自分から動かなければ解決しませんよ。

売り主（販売会社）は、買い主（「困っています」さん）に対し、瑕疵担保責任があります。

キンカメさんのおっしゃるように、瑕疵（排水の噴き出しで臭い）の発生を販売会社に連絡し、是正と再発防止を求めてください。
同じような名前の管理会社を持っているならば、大手のデベロッパーでしょうから、誠実に対応してくれるものと思います。

対応が不誠実なようでしたら、再度ご相談ください。
また、参考のため、先の話になるでしょうが、うまく解決した場合もどのように解決されたか、ご報告ください。

排水配管の掃除口は、横配管から上向きの枝配管に設置されています。
この蓋を取ると、上流からの排水が、上向きの配管内に立上りますので、「困っています」さんのお宅への噴出しは防止されるとの考えのようです。

しかし、上流からの流れの状況が不明ですから、絶対に大丈夫とはいえないと思います。

掃除口の位置が地面と同じ位置では、効果は不明ですが、掃除口から吹き出るようであれば、効果があったことになります。
掃除口のレベルが、「困っています」さんの床下の場合は、掃除口からあふれて、床下ピット内に出てしまう恐れがあります。

いずれにしても、応急処置であると思います。