齋藤さんから御指名頂きましたが、事務所の模様替えでネット環境にあらず、少々遅れてしまいました。（＾ｍ＾；；；；；

斎藤氏が答えていらっしゃる内容、、、基本的にはその通りなのですが、お答えになっていない部分で法的（構想的）に若干グレーゾーンがありますのでちょいと注意が必要です。少し前までは問題なかったのですが、今は、作り方によって行政でＮＧになる可能性があります。ちょっとややこしいですが、、我慢してくださいね。

従前までは、地下部分を「高基礎」と称して1.4ｍ以上の階高があっても住宅部分1階の床の下にコンクリートの床（床スラブと言います）を作らない方法が採用される場合があり、確認申請上（構造計算上）は地下壁式構造あるいは基礎としての計算でＯＫでした。

現在は、地下の部分が「物置」であれ「車庫」であれ、天井高さが1.4ｍ以上あれば、住宅部分1階の床の下にコンクリートの床（床スラブ）を作り、「混構造（壁式+木造）」という構造形式を採用しなければなりません。
＜構造的にはＲＣ部分の水平構面の剛性が床スラブ以外では成立しない・・・という言い方になります。。＞

天井高さが1.4ｍの車庫なぞ、使い物になりませんから、おのずと1.4ｍ以上、、、だとすると、必然的に床スラブが必要という事になります。

ただ、ここからが、ややこしいのですが、全国的にみると「豪雪地域」など特殊事情がある場合、超ローカルルールとして、未だに、従前の構造形式でもＯＫを出している行政があるようにも聞いております。

業者さんがそのあたりの知識があれば、問題ないと思いますが、従前の知識のままだと、工費が安くなると思い、床スラブ無しの形式で設計し確認申請を出したが、結局は通らなかったという事になりかねません。チラッとそのあたり、業者さんに聞いてみると安心ですね。

どちらにしても、確認が通りその設計通りの施工がされる限り、充分安全ですから安心してください。

あと、掘り込み車庫をボックスカルバートという、四角いコンクリートの箱をトラックで運んできて、ポンと置くようなスタイルで作る場合がありますが、これは、私個人的には構造的にも防水的にも感心しません。
これも合わせて聞いてみるといいかもしれませんね。この場合だと住宅の基礎でも地下室でもなく、全く別の構造物になりますので、保証が付かないという点で合点がいきます。

工法や設計手法としてはいろいろとあると思いますが、現地も拝見しておりませんし、全くデーターも無い状況で「費用」までお答えするのは、申し訳ありませんが、ご勘弁願います。

基本的には王道と言いますか常套手段といいますが、地下ＲＣ壁式、1、2階木造の「混構造」として、ちゃんとした計算をし、行政のＯＫを貰う、、、というのが原則だと思います。
地下を別棟とした場合は、また別の設計方法や計算があります。

きっと設計施工一括の業者さんかと思いますが、少なくとも「設計者」としての業者さんをいとようさんが信頼されるなら、率直にご相談されてはいかがですか？その時の対応によって、今後も引き続き信頼関係が築けるかが判断できるのではないでしょうか？

疑心暗鬼のまま、設計、、、工事に入られるのは双方にとって不幸だと思いますよ。

蛇足ですが、ボックスカルバートじたいは、本来の土木資材として使う限り安全だと思います（土木は専門外ではありますが・・・）
あくまでも「土木資材」と「建築設計」の安全に対する基準や考え方が違うだけです。念のため申し添えます。