写真では洗い場の排水トラップには水が満ちているように見えますね。
竹沢さんがおっしゃるとおり,これで正解だと思います。
しかし,もしかして,浴槽の水を抜いておられて,また浴槽の栓があいたままになっていないでしょうか。
本来はこちらにもトラップがあると思いますが,こちらの方が機能していない可能性もあるのかなと思いました。
仮に,浴槽は水が張ったままであれば,別の経路を考えなければなりませんね。
換気扇を回すと臭いがひどいということは,どこかの空気を吸引していることになりますね。
一応,対処療法に過ぎませんが,換気扇を回すときは,風呂場の窓を少し開けるなりして給気を図ると,臭いの問題は少しは改善されると思います。
もしも窓が無いようでしたら,あるいは窓を開けるのが難しいようでしたら,換気扇と連動して開く,シャッター付きの給気口などを設置してもらうといいと思います。
この場合には,換気扇とできるだけ離れた位置に給気口を設置してもらうといいでしょう。
外気による多少の寒さは我慢になりますが。
寒さがいやな場合には,暖房を施した脱衣場あたりに給気口を付けて,風呂場のドアのガラリを開けて換気を図れば,若干の寒さ対策にはなると思います。

専門家に調査を依頼されるのが確実だと思いますが,一応一つの方法を提案させて頂きます。
空気の流れを視覚化するのに,蚊とり線香の煙が結構役立ちます。
換気扇を回した時に,お風呂の空気の流れが,煙のたなびきで判別できないでしょうか。
あちらこちらに蚊とり線香を持って行って,意外な所から空気が吹き出しているのが分かれば,その背後に臭いの原因があるかもしれません。
もっとも,窓を開けていても臭うということで,ちょっと原因が思い当たりません。

　排水の構造はメーカーによってまちまちです。ユニットバスのメーカーがわかるなら、メーカーに相談すればいいと思います。
　ＴＥＬ番はインターネットで検索すればでてきます。

排水の写真を見ると、部品がひとつ不足しているように思われます。このタイプのユニットバスの排水は写真の状態に筒状の部品を取り付けて、始めてトラップとして機能します。これでは水が溜まっていてもトラップとして機能していません。ユニットバスメーカーや機種によって形状か違いますので、メーカーに問い合わせて、取り付ける事をお勧めします。