単純にホースの接続に不備があるということでしたら,金属製の締め具を一旦緩めて,写真の右側の方に移動させて,再度,シッカリと締め上げてみるのはどうかと思いましたが。
写真からは十分には分かりませんが,締める位置が少し左により過ぎているように見えました。
あと,これでダメなら,ホームセンターに液体ガスケットというのが,自動車用品売り場にあると思いますので,ホースを接続する前に,これを塗ってからつなぐと漏れが無くなると思います。
ただ,ホースを外すときに大変かもしれませんので,なるべくなら,これは奥の手ということで,できれば先の方法をまず試してみて下さい。
あと,今まで漏れていなかったのに,急に漏れるようになったということであれば,排水管の詰まりも少し心配になりました。
それで,これらの方法を試す前に,まず,排水管の洗浄液で排水管をきれいにしてから,ホースの接続の改善を試みる方がいいかもしれません。
これもホームセンターに行くと,パイプクリーナーなる薬品が各種市販されていますので,使い方を良く読んでやってみて下さい。
これは石鹸カスや毛髪などを溶かす薬品で,風呂場や洗面所の排水の詰まりなどにかなり効果があります。

　この排水金具の場合は排水が詰まった場合は、洗濯機のほうでエラーが出て排水されなくなりますので、接続が悪いという事になります。

　どこから漏れているかにもよりますが、プラスチックが変形してきっちり閉まらなくなっている可能性も否定できません。

　この程度のことで１万円以上もかかるのは高いですね。やっぱり東京は交通費なんかが高くつくのかもしれません。それなら近所の水道屋にたのんだほうがいいかもしれません。

「排水トラップ？(筒状の部分)」を写真で見せて頂けませんか。

２点確認してみてください。
排水トラップ内部に糸くずのようなゴミがたまっているのであればきれいに取り除いてください。使い古しの歯ブラシ等を使えば簡単にできると思います。しかし、写真を見る限りかなりきれいなので、すでにチャレンジ済みかもしれません。
２点目は、トラップを取り外した排水管内部に糸くずなどがヌメリと一緒に付着していないか確認してください。排水管とトラップの隙間は１センチくらいしか無いので、そこに汚れが付着しやすく、詰まりの原因となります。きれいにするのはトラップが取り付けられる深さまでで十分です。これも使い古しの歯ブラシで可能です。歯ブラシを排水管に落とさないように注意してください。
この後にあらためてトラップを接続して排水してみてください。
排水トラップと排水管内部、確認お願いします。
確認後の状況を教えて下さい。

最初は洗濯機のホースと排水設備のエルボの接続から漏れるのかと思いましたが,排水設備自体から水があふれるということでしょうかね。
昔はきれいに流れていて,最近,あふれるようになったということであれば,やはり排水管の詰まり(奥の方)が疑わしいように思います。
排水管の詰まりがひどい場合は一般の洗浄液では間に合わないこともありますね。
この場合は業者に依頼するのが簡単ですが,DIYでされるということであれば,ホームセンターにパイプ清掃のための,ワイヤークリーナーが置いてありますので,これで排水パイプの奥の方まで清掃してみると改善されるかもしれません。
使い方はホームセンターで教わって下さい。
あるいは,業務用の強力な配管清掃の薬品もありますのでこれを使う手もあります。
業務用はタンパク質を溶かす為の薬品,つまりカセイソーダの含有率が圧倒的に高くなっていますので,取り扱いには注意が必要ですが,効果はかなり期待できます。
通販でも入手できますので,業務用パイプクリーナーで検索してみて下さい。
ただし，目には決して入らないように注意して下さい。
目がつぶれますから。

トラップを取り外した状態で排水した場合には漏水しないで排水できるということですから、配管内部の詰まりではなく、トラップの問題と考えるべきだと思います。
トラップ本体の変形等の異常、パッキン等の接続部品の不足などが考えられます。
排水金物のメーカーと型番がわかれば、メーカーホームページから図面を見ることができます。そこで確認してみてはいかがでしょうか。

ユニットバスの排水トラップは,床下に水平に配管してある排水管全体を排水トラップとして機能するように設計されているものがあります。
それで,排水管の奥で詰まりが発生する際に,排水トラップとしての機能そのものに支障をきたす場合もあります。
それで,排水管の本格的な清掃をお薦めしました。
専門家に依頼して,ファイバースコープなどで目視しながら,清掃を依頼されると原因が特定できると思います。

我が家でも同型の排水口で同じ症状になり困っております。
解決されているようでしたら、対策方法を教えて頂けると幸いです。