これだけ念入りに設備業者さんの方が現場をみて対応しています。
私達がメールの文章だけで回答するより、はるかに適格な対応策を講じておられるのでしょう。
臭気対応は、先ず排水トラップを点検するのが常道です。
ところが換気設備と配管設備とでは、専門ジャンルが大きく異なります。

ひとつ気になるのが、換気経路です。
隣人、ゴミ屋敷から発する臭気が、質問者の住居で換気する際に何らかの要因で通り道になっていることも考えられます。
今一度、隣人からの臭気と換気経路について検証する事が相当と思われます。

現地を見ないで回答しますので、まずは質問です。

排水溝というのは排水口と考えてよいですね。台所・洗面所・浴室・便所・洗濯パンに排水口がありますが、臭気の強いのはどれでしょうか？

賃貸マンションということですが、ファミリータイプですか、ワンルームタイプですか？
各室には給気口（換気扇運転時に外気が入ってくるところ）がついていますか？
また、その大きさと数を教えてください。
換気口がない場合窓に換気小窓がついていますか？

比較的最近に窓サッシをリニューアルしたり、内窓を付けて二重サッシになっていませんか？
大家さんに訊いてみてください。

マンションということですが、他のお宅ではどうなんですか？管理人や管理会社に訊いてみてください。

ゴミ屋敷は臭気が発生していますか？またその臭気は村一林檎さん宅の臭気とは同じですか？ゴミ屋敷側に給気口は面していませんか？

小生も定年後、事務所用のマンションを探しましたが、トラップの封水切れで、ものすごい臭気の部屋に出会ったことがあります。（これは長期間の不使用が現委員でしたが・・・・）
多分、村一林檎さん宅の臭気は排水管からの逆流ではないかと思います。
ワンルームマンションでは、給気口（換気口）不足のためレンジフード運転時に台所流しや、選択パンなどからの臭気の逆流があります。以前回答したことが数例あります。
通常は、小さくても給気口がありますので、換気扇を運転してもトラップの封水が切れることはめったにありませんが、サッシのリニューアルを行うと部屋の気密度が上がると、給気口不足でトラップの風水が切れやすくなります。

また、気密度が上がると、暗騒音が下がるので、他の住戸の音がよく聞こえるようになります。
隣人のトイレの「轟音」というのが気になります。

上記は小生の推定です。
もちろん、他の状況も考えられますので、まずは質問にお答えください。

「シンクの下の管の隙間をパテで埋めても、完全に埋まらないと言われました。」の意味がよく分かりませんでしたが、キンカメさんの回答で理解できました。こんな施工をやっているところもあるのですね。
要するに、シンクの下に排水管が立ち上がっていて、シンクの排水管を差し込んでいるのですね。
ひょっとして差し込んであるのはジャバラ式のフレキシブルホースではないでしょうか。それなら隙間は完全には密閉できません。

いずれにしてもキンカメさんのおっしゃるように、まずは配管の隙間を塞いでください。

機密性が高いので、臭気はトラップからでなく、配管の隙間から吸込まれているものと思います。
換気扇を運転して、配管の隙間から風が出てこないか試してください。

厨房器具はガスですか？ガスならば、建築基準法で排気設備の設置が義務付けられています。同時に、給気口も必要ですから、給気口がないのは建築基準法違反といえます。
ＩＨヒーターの場合でも、厨房にレンジフードを設置したら、そのための給気口を設置するのは常識です。

家主が応じてくれるかどうかわかりませんが、給気口の設置を要求してもいいでしょう。
コンクリートの壁に穴を開けるか、窓サッシを改造して換気用小窓をつけることは出来ます。

とりあえずは、暖かくなることですから、クラビアさんのおっしゃるように、窓を開けて換気扇を連続運転したら如何でしょうか。