まず、なぜ「そのままだと申請がおりない」のか？そもそも何の申請なのか？わかりません。それを、ご説明願えませんでしょうか。

　平屋の上に増築すること自体は、技術的には、問題は無いはずです。
もともとの平屋部分の構造・状態等が不明で、また、どのように乗せたいのか？それも、ご説明を願えませんでしょうか？

申請が下りないと云うのは、現在の平屋部分の構造（基礎と主要構造体）が二階を載せるだけの耐力を有していないのだと推察できます。
増築部分の建築がいつの時代なのかは解りませんが、10坪（33平方メートル）の増築は、確認申請が伴い、構造チェックを受けます。
場合によっては、基礎も含め相当な補強が伴う場合も考えれます。

平屋部分を広げて二階にする方法も、あらたな場所に増築する方法においても、構造的な要素に加え、容積率や建ぺい率などの法的課題が伴います。
また地域によっては二階を載せることでの北側斜線規制を受ける場合もあります。
これらの問題は、建築士さんに精査して戴くべきでしょう。

既存の「2階」に、福地さんのおっしゃる通り10?以上の増築をしようとすると、確認申請が必要になりますが、その際、1階も含めて、耐震補強の必要性が出てくる可能性があります。ただ、それも、技術や予算のお話だけでは解決出来ない問題もあり、結果、「手続き的には可能だが現実的では無い」ケースが相当数発生します。そのケースを判りやすく「そのままでは申請が降りない」と表現されているのかと思います。

おっしゃっている後段のケースでは、かなり可能性は高くなりますが、設計者の方の判断をあおいでください