換気扇は実質的に穴になりますので,音の漏れを完全に無くすのはかなり難しくなります。
一応,対策としては以下の方法が考えられます。
□防音ガラリを付ける
□消音ダクトを採用する
□換気口の外側に遮音壁を設置する
効果の程はやってみないと分かりません。

まず,DIYでできるかどうかという点ですが，高層階の場合は遮音板の外壁への設置は安全上,無理ではないでしょうか。
仮に,一階の場合として,コンクリートに遮音板を取り付ける為のビス穴を開ける為の,専用のドリルが必要になると思います。
消音ダクトの設置は天井裏工事が必要になりますね。
あと,管理組合などの了解を求める必要が出て来ないでしょうか。
誰かに依頼するのであれば,一級建築士の看板を掲げている,建築士に相談するのが,一番手っとり早いと思います。
あるいは,ネットで「防音工事」で検索して,近くにその種の業者がいるようでしたら,そこに依頼するのも良いと思います。