仲介業者や家主のあり方の是非に付いては良く分かりませんが,ハードの面の対策に付いて,幾つか述べさせて頂ければと思います。
まず,ドアクローザーの不調で,ドアが勢い良く閉まる問題に付いては,ドアクローザーが新しいものであれば,本来は調整で直るはずです。
しかし,それが無理ということで,交換を提案されているのだろうと思います。
しかし,費用が発生するということなので,一つの方法としては,ドアクローザーを外してしまうことが考えられます。
しかし,そっくりはずのは大変なので,リンクとアームを固定しているネジ,つまりボルトとナットで結合されていると思いますので,これを外して,ドアクローザーの動作を殺してしまうと簡単です。
ネジの大きさを測って,それに合う,レンチを100均で入手して,自分で作業することもできると思います。
ネジ一本外す手間は掛かりますが,費用は105円です。
隙間風の対策に付いては,スポンジ状のパッキンは弱いので,発泡ゴム製の,かなり強度のあるパッキンが,ホームセンターなどには,各種揃えてありますので,これを買ってきて,ドア枠の全周囲に丁寧に貼っておくといいと思います。
ドアの閉まり具合との兼ね合いもありますので,カットアンドトライの作業になるかもしれません。
この場合の費用はせいぜい数百円から数千円程度でしょう。
なお,ドアクローザーを取ってしまうと,ドアの開閉は人力だけで行うことになります。
指を挟まないように,また風で煽られないようにという注意が必要になります。
これは,車のドアの開閉と同じです。
もっとも,壊れたドアクローザーが付いているよりは,無い方がましだと思います。
とまあ,こんな具合で,私なら,エネルギーの要る人間関係の交渉で苦労するよりは,費用をなるべく掛けないで,自分で何とかしてしまいますが,参考になれば幸いです。
なお,これらの作業を何でも屋さんに頼む手もあるかもしれません。
せいぜい,1日分の日当プラスαで解決すると思います。

法律の専門家に少し相談しましたが,本来,家主,また住居の管理者は借家人に対して,まともな家を提供する義務があるということです。
それで,ピーキチさんの方で,強く,改善を訴え続けることができるかもしれません。
ただ,ドアクローザーの機能の面で,法的に物が言えるかどうかは,どうも微妙なところのようですね。
日本の慣習としましては,種々の設備に付いては,機能するかどうかはともかく,設置してあればいいだろうみたいなところがありまして。
私なら,面倒なので,自分で何とかしてしまいますが,ピーキチさんの方で,粘り強く訴え続けてみるのもいいかもしれません。
大抵の人は,粘り強さには負けるものですし,また訴え続ける権利はあると思います。
なお,明らかな不備に付いては,自分の方で業者に頼んで直してしまって,その費用を家主に請求することも法的には可能だそうです。
ただ,現実には,事前の了解無しにやると,問題がこじれることが多いということでした。