１、今後、住宅に影響はあるのでしょうか？

お話の範囲内であれば、住宅本体に影響が出るような感じでは無いですね。
右上がり5mmというのが、どこから、どこまでの差なのか不明ですので、何とも言えませんが、大きな部屋の対角線で計測し、その数字であれば、一般的に無きにしもあらず、、、かと思います。
床も天井も、決して傾きが「0」ではありません。大なり小なり有り得る事です。

仮にエアコン屋さんが計測したのであれば、取り付け時、その差を吸収するような、設置を考えるはずですが、（エアコン屋さんも、決して、いつでも水平の物に取り付けているとは思えません）ちょっと、そのあたりが解せませんね。

２、引き渡し後ですが、やり直しの工事はしてもらえるのでしょうか？

粘り強い交渉が必要と思いますが、施工者によっては対応してくれる会社もあり得るでしょう。ただ、強硬に対応しない（特に大手であれば、、、）という事であれば、正直、難しいと思います。ごめんなさい、、、悲観的で。

３、第三者機関に再度確認してもらいたいと思うのですが、業者に費用は出してもらえるのでしょうか？

施工者に言わせれば、あなた様が勝手に依頼した事になりますので、これも、難しいと思います。

　栃木さんの回答で、ほとんど言い尽くしております。

　天井の傾きの件ですが、
そもそも、平坦（±０）には、なっていません。というよりも、そうは、作りません。
　出来ないとか、というマイナスの要因ではなく、天井は、盛り気味で作らなければ、「この天井、下がってますよ！」というクレームになります。そういう風に見えるのです。
　ですから、必ず、五ミリや一センチは（広さによります）高く作っています。

　通常、それをクレーム扱いもしませんし、直せと言われて、「はい！」という業者もいません。
　一言説明して、それでも解ってもらえなければ、やりますが、
「下がってますね？！」は聞きません。「だから、言ったよ！知らないよ！！」で終わりですね。
　
　エアコンの業者は、通常その程度であれば、
吸収する部材、ノウハウを持っているはず、用意して当たり前です。
目立たない施工法もありますし、工夫すべきです。

　ただ、私たち（おそらく回答者皆さんが）が想定している部分、状況ではない？可能性は否定しません。
本当に問題がある。ということであれば、当然、クレームの範疇かもしれませんが、現場を確認できない状況では、「？」としか言い様はありません。