文面からの第一印象ですが、
何かしらの「急を要する」原因があるような気がします。
　現場を見ないと、なんとも言えません。
　（お近くなら、私でも良いのですが）しかるべき方に現場を見せることが必要かな？と。

　いろいろ考えられますが、
「気密施工」の不備
「機器の漏水の有無」
「外壁・屋根等の浸水・漏水」
等、等・・・

質問は、軒天の建材がボロボロになっている要因を問うているのだとしたら、24時間換気や暖房状態と切り離して検証すべきです。

軒天の板がボロボロになる要因で一番多いのが、スガ漏り現象の典型的な事例です。
積年のスガ漏りにおいてしだいに軒天が傷み、今年の夏に気付いたのでしょうか。
スガ漏りは、大きな氷柱（ツララ）が出来るので確認がし易いと思います。
スガ漏りの対策は、天井断熱材の充填と、小屋裏の風通しの確保です。

スガ漏り以外の要因としては、屋根材の鼻隠し付近の端末納まりの不備で、軒天に雨水浸透を起こしている場合があります。
大工さんより、屋根屋さんに確認して戴くのが相当と思われます。

もう一つ原因として考えられる事、、、

外部に対する排気セルフード（多分、、銀色の御椀のような、排気カバーです）が軒天近くに設置されていませんか？
あるいは、軒天の中に室内排気が漏気していませんか？

いくら外部とはいえ、軒天周辺で内部の湿気を帯びた空気が、滞留しているようだと、軒天が湿気を吸い、特に冬季にはそれが凍結融解を繰り返し、凍害を起します。
恥ずかしながら、私も失敗した事があります。

不具合を起している箇所近辺に排気口が無いかどうか、、確認してください。

屋根形状が分かりませんので、適切な判断は出来ないのですが、
軒先での、すが漏り・端末納まりの不備・コーキングの劣化などで、軒天スレートにシミが出て後にボロボロになることが有ります。また、キッチンやお風呂の排気口近くの軒天スレートに穴のある換気スレートが有れば、そこから内部に湿気が入り込み、周りのスレートを痛めることも有ります。排気の流れ方を見て、換気の位置か換気スレートの位置を変える、又は、トタン等を軒天に張るなどで、排気の流れを変える等の対処が良いと思いまさす。
また、すが漏りの場合、【すが漏り（スガ漏り）とは積雪寒冷地において屋根に積もった雪が外気温又は建物から出る熱により溶け、融雪水となり、おもに軒先（屋根の水下部分）で落下する前に凍結し、氷が堆積して水が流れ落ちずに水溜まりが出来、屋根材の防水性の劣っている部分から融雪水が浸入し建物内外に出てくる現象】を言いますので、断熱材の充填と小屋裏の換気の確保だけでは解決しません。
屋根材の防水性が機能している事が大事です。
軒天のスレートを取り換える時に、屋根屋さんにこの点も確認してもらってください。