束石の下にコンクリートを打設するか？ということには、
他の地盤との兼ね合いというしか答えはないと思います。

　住宅であれば、通常は、その施工だと思います。もし、他の現場を見て、打設してるよ！
という場合でも、「捨てコン」と呼ばれる、強度には関係ない、墨出しのためのコンクリということもあります。
　もし、軟弱地盤がわかっていて、不安ということであれば、
敷石ブロックといわれる、平板を敷いて、その上に束石という施工もありますよ。

新潟であれば、砂利上に束石という施工方法もアリだとは思います。但し、地盤が良好であるという前提です。

＞防湿コンクリートにした方が鋼製束が沈む確率が少なくなる

これも全くその通りです。今後の床鳴りなども少なくなると思いますし、床下の湿気の問題も少なくなると思います。

金額についてはコメントを避けますが、その金額をお支払いになるようでしたら、1階の床も、2階と同じように「梁式」にしてもらうという手もあるかと思います。これは梁のサイズさえ間違わなければ、沈む不安からは開放されます。仮に1階の床の「大引き」と呼ばれる材料が倍の高さになったとしても、常識的に50万円の増額になるとは思えず、はるかにお安くできると思いますよ。