口約束も立派な契約になります。
ただ，後で言った言わないのトラブルの原因となりますので，正式な文書化が求められているわけです。
それで，今回の場合，契約書がないわけですから，最初の口約束の1000万以上は支払わないと覚悟を決めるのも一つの手かもしれません。
法的には問題ではありません。
ただ，現実に仕事が増えていて，費用がかさんでいるのに，それを支払わないのも道義的にはどうかという面もありますね。
現実には，仕事をしたものの，支払いがなかなかされないという事態もありますので，建築業者に取っても，契約書無しというのはとてもリスクがあるわけです。
建主を信頼してくれている，かなりアバウトな業者かもしれませんね。
私の親戚にも，ボケ老人がおりまして，営業マンからだまされて，不要な？工事をしてしまったのですが，とうとう，ボケ通して，費用は一銭も払わず仕舞いというケースがありました。
そもそも支払い能力がありませんので，どうすることもできません。
業者も強く出れない事情があったのかもしれませんが，泣き寝入りの業者が可哀相な気がしたものです。
さて，今回の場合ですが，1250万円以上は増えないということで再確認されていますので，その点を常々口にしておかれるのがいいかもしれません。
そして，幾ら請求がきても，それ以上払わないということで通せると思います。
裁判になっても負けることはありませんし，まず裁判にはならないでしょう。
建築工事のほとんどは人件費でして，こちらが幾らと言えば，それで結構，通ってしまう面があります。
あと，リフォームは基礎を残す場合は，基本的には確認申請は要りませんので，行政への届け出は不要だと思います。

>リフォーム前に名義変更しなくてはならないことも判明

という事は　建築確認が必要な案件でしょうか？
リフォーム+増築もありますので、10平米を超えたりすると
必要になります。

名義変更をしないと行けない理由が知りたいです。

名義変更をしないと行けないのであれば、着工していない？
であれば　白紙に戻した方がいいと思います。
文面だけの判断ですが、契約無しとは、怪しいです。

数万円ならともかく、高額であるのに契約書なしは
ありえません。

お話が結構複雑の様ですね。
建築業者との契約云々以前に，別の問題がある様に思います。
そもそも，農地に家が建てられたのかなという疑問があります。
もしかして，市街化調整区域ですとかなり厳しい制約がありますね。
元の家が，もしかして違法建築であったとすると，単純にリフォームで話が済むのかどうか。
今出来上がっている物件も違法建築にならないのかとか色々と懸念材料があります。
かりにこれらの問題がクリアできたとして，建物が完成しますと，正式には所有権登記を行うことになります。
それを怠りますと，10万円以下の罰金に処せられることになると思います。
しかし，現実の問題として，過去には特にそのまま登記せず，放置されていたケースも多々あったようです。
また，現状では正式に手続きするとなると，処理がかなり複雑なことになっているようですね。
それで，これはお勧めできることではありませんが，将来に渡って，家の売買が関係しないのであれば，そのままにしておく手もないわけではありません。
なお，固定資産税は，登記とは関係なく，行政の方で調べて，きちんと徴収されます。
この点は行政は自分の分野の仕事はきっちり行われます。
また，仮に，今後正式に登記する方向で話を進めていくとなると，これは，建築業者では無く，司法書士に依頼することになるでしょう。
そもそも，登記関係には建築業者は関わりません。
もちろん，懇意にしている司法書士を紹介してくれると思いますが。
その場合，元々あった家が正式に登記されていなかった様ですので，新しい家をリフォームとして扱う場合に，どのように登記できるのかが，良く分かりません。
これは司法書士にお願いすることになるでしょう。
建築業者との契約に付いては，ほとんど完成しているのであれば，約束通り1250万円以下をお支払いして，話が終わるのでは無いかと思いますが。
リフォームで1250万円というのはかなりいい仕事をされたのかなと思います。
その場合，領収書をもらっておくことと，建物の構造や資材に付いて明確にしておくと，登記の時に役立つと思います。
詳しくは司法書士にお尋ね下さい。
最後に，変な話ですが，今の時点で行政に相談するとかなり難しい事態になるかもしれません。
行政は法を破ることはできませんので，こちらから尋ねると，法律通りの答えを返します。
ただ，完成してしまって，そこに人が住んでしまうと，見て見ぬ振りをして，そのままということもあり得ます。
それで，土地の状況に詳しい，道理をわきまえた司法書士にまずは相談されるといいと思います。