写真や文章での判断ですが、とても深刻な状況下にあると思われます。
２×４工法は、先ず床パネルを敷き込み、その上に壁の部位を建て込んで参ります。その工程の中で本件のような雨水対策が最大な課題となっております。

殆んどの工務店やハウスメーカーは、雨水があたらないよう、万全の養生を行っていますが当然の施工法です。
もっとも深刻なのが、断熱材がどのような素材なのかで対応が異なります。
グラスウールなら、入り込んだ湿気を抜く事は不可能かと思われます。
充填式ウレタン断熱材でも独立気泡タイプなら、表面の合板を乾燥すると良いのですが、連通気法（スポンジに近い素材）タイプならグラスウールと似たような状況となります。

とにかく合板と断熱材の乾燥を、しっかりと確認した上で施工を進捗させる事を施工者に強く要請すべきです。

　断熱材が、EPS板とありましたので、調べてみましたが、
ビーズ法ポリスチレンフォームだそうです。
　グラスウールと違い、水には強いようです。
ただ、床の養生が、無いままでの施工は、やはり、疑問ですね。
　耐水合板のようなモノを使っていると、思いますが、
出来れば、乾燥に相当気を使った方が良いでしょうね。
写真での判断ですが、急激な乾燥は、悪影響があると思います。
ので、自然乾燥で日にちをおくことには、賛成です。
　施工業者の言う、4週間の自然乾燥で、十分か否かは、天候、気温との相談でしょう。今後一切、雨に当たらない。後はゆっくり乾燥する。という状況を造りたいですね。かといって、通気が無いほどに囲ってしまうことは、逆効果でしょう。
　出来うるならば、工期をのばしてでも、乾燥につとめることをおすすめします。くどいようですが、急激な乾燥を避けることをおすすめしておきます。

　

従前、頂戴した基礎も含めて考えると、少々、やんちゃ（←北海道弁でしょうか？？）な業者さんのようですね。会社としてなのか、、、現場担当者の性格なのか。。。

あきらかに現場担当者が、大雑把な方のようであれば、「会社」に対して交代をお願いしてみてはいかがですか？（それなりに大きい会社であれば、数人はいるはずです）
実際に、交代してくれるかどうかはともかく、多少のプレッシャーにはなるはずです。

それと、くれぐれも冷静に交渉されるよう、、、お勧めします。