＞ハウスメーカーに法律上問題ないので有償にて対応いたします

たいがいの建売住宅は（有名・無名にかかわらず）、外構工事（庭、駐車場など）については、「法律上問題ない」ではなく、そもそも、お買い求めになった商品としての住宅に含まない場合が多いようです。契約書をご確認ください。

つまり、お買い求めになった住宅（多分、保証付き）には含まれていない工事なので、その点に関しては、原則保証が付きません。という論理です。

これは、特に植栽などが、枯れてしまった場合に備えての対策のようです。

ですから、責任というより、「保証」という観点からは、はずれている。。とお考えになる方が宜しいかと思います。（まずは契約書をご確認ください）

ただ、そうは言っても、あくまでも「有償」で工事を行っていれば、その点での責任はあって然るべきです。（住宅としての保証ではなく）

以上、申し上げた点を、勘違いせず、交渉なさってみてください。

しかしながら、、、今回、工事が「無償」で行われていた場合は、冒頭、申し上げた通り、あくまでも「サービ」という位置づけになりますので、「保証」だとか「責任」だとかの、論議になると、「そもそも、その部分は無かったのと同じですから（無償のサービスだったのですから・・・）」という理屈で、メーカーは論理づけてきますので、相当に交渉は難しくなるかと思います。

防草シートと透湿シートでは機能仕様が異なります。
防草シートは、水を透過しつつ、雑草が根付かない機能を持たせております。
写真で見る限り、防草機能は果たしているように伺われます。
透湿シートは、水蒸気を透過させても水を漏らさない機能を有しております。
したがって、本件のような使い方をしても効果的ではありません。

また、暗渠を埋めたとしておりますが、大雨で暗渠の排水点検も行うべきでしょう。
ハウスメーカーは、本件事象に対し何らかの対応を行なうべき道義的責任を有しています。
状況によって有償にせざるを得ない部分もあるかも知れませんがハウスメーカーは、果たすべき責任を全うすべきです。質問者は、根気よく交渉すべきと思われます。

暗渠配管とありますが、なんでしょうか？
公共下水または道路側溝に接続されているのですか？
接続されている配管があるのなら、雨の溜まるところに格子状の枡を設置してこれに配管接続すれば解決できるはずですが、どうしてきちん排水工事をしなかったのでしょうか？何か理由があると思います。

「水溜りについてはハウスメーカーに法律上問題ないので有償にて対応いたします。」とのＨＭの見解だそうですが、本件は明白な建築基準法違反です。
建築基準法第19条３項には、「建築物の敷地には、雨水及び汚水を排出し、又は処理するための適当な下水管、下水溝又はためますその他これらに類する施設をしなければならない。」とあります。
　したがって、工事は勿論無償で、本来はｓｎｏｗ　ｓｅａｓｏｎさんが納得するまで改善すべきと考えます。
勿論敷地の大きさによっては、雨排水設備がなくても道路や隣地に流れますので、通常の住宅建設では、敷地の雨排水は設置されていないことの方が多いですが、基本的には水溜りが出来ないように設計施工すべきです。
写真で見る限り、若干盛土をするか、敷地勾配を大きくすれば道路の方に流れそうですが・・・・？

なお、敷地内でしみこませるのに、なぜ透水シートが必要なのでしょうか？
これを敷くと土地の浸透率が良くなるのですか？
粘土質の土の下に敷いても効果は薄いと思います。
格子枡（格子状の雨水の集水桝）を設置して、暗渠配管につないでください。
暗渠配管が公共下水に繋がっていないなら、その配管は多分浸透管です。その場合も格子枡を浸透桝にして配管接続すれば効果はあります。