本件は写真で見る限り、冬期間に発生した、典型的な結露によるカビだと推察されます。
小屋裏空間は、自然通気や機械通気を促し、限りなく外部と同じ状態に保持することが基本です。

本件は十分に通気させるような構造状態になっていないようにも見受けられます。
小屋裏通気を充分にしておくと、冬期間の外部は極端に乾燥状態となっており、屋根裏面に結露を起こす環境になり得ません。
本件は密閉状態の小屋裏に浴室の湿気が上がってきて屋根裏面に結露を発生させたものと推察されます。

東京地域は、この梅雨時期から秋口までは、外部湿度も高くなりますが、例え湿度が高くとも小屋裏面の温度も高くなっており、結露を起こす環境となりません。
本件の対処法としては、浴室換気ダクトの補修は当然ですが、小屋裏換気を徹底することです。
写真だけで構造面を詳細を掌握できませんが、少し要領の大きい機械換気を行うべきでしょう。そのことで屋根を取り替えなくともカビは自然に消えてゆきます。

小屋裏換気量を多くすると夏場の冷房省エネにも貢献いたします。
早速、実践すべきでしょう。