書かれた文章から推定して、いわゆる「町家」建築だろうと思います。かなり難しい状況だと思われます。
まず、敷地の問題はどうなっておりますでしょうか？
解体後にお宅の外側に支えをとるだけの敷地的な余地があるのか？無いのか？
これが無いとして、隣地の所有者に対して、一時的にでも支えをとらせてもらう交渉が可能なのかどうか？　が推論の前提になると思われます。
そもそも、ベニヤ板一枚というような華奢な壁では、もしお隣が解体されてなくなると、いろいろと構造的な不具合もあるでしょう。
その面に壁一枚分（約120から150mmくらい）くらいの、補強を施す余裕はあるのでしょうか？
それすらもないとなると、難しいことになるかもしれませんね。　
　
私が考える最低限の（安心のための）こととしては、
解体された住宅側の壁にそわせて、壁を一枚増設する。
柱は、現状の柱と同じ場所に設け、増設柱と既存柱は、ボルトなどで緊結する。
隣の解体工事中に、状況を見ながら同時進行で柱建て、緊結だけはしておくことが、安心でしょう。
増設柱に外壁材を施工する。モルタル、サイディング・・・・何でも良いと思います。

もし、外側に広げる余地がないのであれば、解体住宅側の内壁に同じような施工をする選択肢があるわけですが、床、天井を一部解体して、行うことになります。これなら、解体、復旧の分はかかりますが、外壁材等の分は負担減になりますね。

リフォームに関わるご予算が無い。と言われておりますが、
お隣の解体業者、施工業者に「一緒にお願いします。」・・・・のような頼み方だと、負担は軽めには なると思いますし、状況に応じた施工には心強いかもしれません。
現場監督Aさんの言われるような、対応が可能であればさらに負担を軽くできると思います。　
以上、現場の状況などがあまりにも不明ですので、参考意見としていただければと思います。