細かな技術的なお話しでは無く、包括的なご説明をします。また、私も設計事務所を営んでいますので、もしやすると、少々、設計事務所寄りの意見になるかも知れませんがご容赦ください。

そもそも、「設計契約」における「権限委任」の範囲はどこまでか・・という事になるかと思います。

設計者は、相当程度、あなた様にご信頼頂き、設計に関する判断を委任頂いている、、と認識しているでしょうし、あなた様も、水切り以外にも、沢山、説明を受けていない部分があるにも関わらず、任せているから、、という事で、逐一の説明は要求されていないと思います。

つまり、満足いただけなかった部分のみ結果責任として、問うていらっしゃる事になります。（それが悪いとは申しておりません・・・）

矮小な例恐縮ですが、写真も無く「ラーメン　600円」と書いてあるメニューで、注文し、「想像より塩辛かった」「「入っていると思っていた海苔が入っていなかったので、追加トッピングしたら、随分と高かった」。。みたいなお話です。

もちろん、ラーメンと住宅は、その価値が全く違いますので、一緒には出来ませんが、設計者にすると、「今更かい・・・（-へ-。。」という受け止めをしてもおかしくありません。ただ、、、設計者の経験値、能力不足による場合も、確かにありますし、判断ミスもあるかと思います。

実は、この部分は、契約書に書ききれませんし、まさしく、設計者との信頼関係が、どの程度であったのか？が問われる部分と思います。

ご質問の

1　単価に関してはコメント控えます。

2　追加工事になったので、幾分か高いはず、、というご指摘は、もっともと思いますので、前段で、申し上げたような考えもある。。。という事を、頭の片隅に置いた上で、交渉されてみて下さい。一切、払わない！！という事でなければ、双方、妥協の余地はあると思います。

3　築後　数か月の、「空気中」の汚れであれば、塗り替えまでの心配は無用と思いますよ。

雨だれについてですが、文面から屋根面より四方の辺の部分に立ち上がりが無く、風雨により雨が風下に流されるなどして雨だれが沢山出来ている？
さらに屋根面ですから、通常は砂埃で汚れており、それが外壁をつたっているのでなおさらということ？のような気がします。
文面からでは壁面と屋根面のコナー部にはアングルのような水切りが無いようですが防水は躯体に浸透させるような防水のため水切りが無いのでしょうか？そのようにした理由はそもそもどのような理由かが気になります。
意匠のため？（壁面から屋根にかけてのコナーに防水押えの金物を無くして意匠的にすっきりさせたかった？などなど）
また、庇が無いボックスの建物ですので、建物の屋根部の４周が立ち上がったパラペット形状の建物だとしても、やはり庇がないのは建物の壁面が汚れやすいそもそもの原因でもあると思います、どのような要望で設計を依頼されたかは不明ですがそのようなそもそもの建物の形状の問題も同時にあると思います。ですので記載されているアルミの水切り程度でどの程度軽減できるか？再度ご確認されたほうが良いかと思います。
費用負担などのことはどのような話し合いから建物の形状が決まった等は分かりませんので記載は控えさせていただきます。

図面・写真がないので、
もし、文面から、添付図の様な形状とすれば、単に縁周りにアルミの水切りを付けても、平らな部分には雨水がたまり、劣化を速める恐れがあります。
右図の様に平らな部分に勾配をつけ、雨水がたまらないようにできないものでしょうか。